12.3. Энергетические затраты на создание и запись информации. Пример

В предыдущих параграфах случайная переменная у, несущая информацию о координате (или координатах) х физической системы предполагалась заранее заданной случайной величиной, статистически связанной (коррелированной) с х. Особого внимания заслуживает вопрос, как физически реализовать эту информационную случайную величину. Ее естественно трактовать как одну (или несколько) координату из координат (т. е. динамических переменных) некоторой другой физической системы которую назовем измерительным прибором. Второй закон термодинамики приводит к определенным утверждениям, касающимся процедуры физического создания такого информационного сигнала у, статистически связанного с х. Эти утверждения касаются энергетических затрат, необходимых для создания у, и являются своего рода обращением утверждений, изложенных в § 12.1 и 12.2.

Дело в том, что рассмотренную ранее физическую систему 5 (с термостатом), которая «превращает информацию и теплоту в работу», и измерительный прибор (действующий автоматически), который создает информацию, можно объединить в одну комбинированную систему и применить к ней второй закон термодинамики. К комбинированной системе уже не будет поступать информации, поэтому неравенство (12.1.12) для нее примет обычную форму (12.1.11). Если измерительный прибор или термостат, с которым он контактирует, имеют ту же температуру Т, что и физическая система с координатой х, то итоговое превращение теплоты в работу должно отсутствовать по обычному второму закону термодинамики. Это значит, что механическая энергия типа (12.1.10) или (12.2.5) должна превратиться в теплоту в измерительном приборе. Мы получаем, следовательно, что всякий физический измерительный прибор, имеющий температуру Т, для создания количества информации о координате физической системы должен превращать в теплоту по меньшей мере энергию 77.

Это неотъемлемое свойство всякого физического измерителя проверим сначала на одной простой модели реального измерителя. Сконструируем измеритель таким образом, чтобы измерение координаты х физической системы не влияло на поведение этой системы. Удобно рассматривать двумерную или даже одномерную модель. Пусть х есть координата (или координаты) центра металлического шарика, который без трения движется внутри трубки из изолятора (или между параллельными пластинками). Внутрь изолятора вставлены (и зашлифованы) пары электродов — металлических пластин, на которые подается разность потенциалов. Когда шарик находится в определенном месте, он соединяет одну пару электродов и тем самым замыкает соответствующую цепь (рис. 12.1). По протеканию тока можно судить о месте положения шарика. Пространство значений х оказывается разбито на области ,

соответствующие размерам электродов. Если число пар электродов равно целой степени от 2, то удобно выбрать источников и так соединить электроды, чтобы факт протекания (или непротекания) тока от одного источника нес в себе один бит информации о номере области Пример такого соединения для показан на рис. 12.1 и 12.2. Когда цепь, соответствующая одному биту информации, замыкается, то возникающий ток перемагничивает магнитик, помещенный в катушке и играющий роль ячейки памяти. Если тока не возникает, магнитик остается намагниченным в другом направлении. В итоге в тройке магнитиков оказывается записанным (двоичным кодом) номер области Размеры областей пластин, можно подбирать из соображения оптимальности, рассматриваемых в теории ценности информации.

Рис. 12.1. Расположение измерительных контактов в трубке.

Если целью является получение максимальной работы (12.1.9а), то области нужно выбирать так, чтобы им соответствовали одинаковые вероятности

тогда больцмановское и хартлиевское количества информации будут совпадать: и формула (12.1.9а) даст максимальную механическую энергию, равную Логарифм числа областей можно назвать предельной информационной емкостью измерительного прибора.

В действительности количество информаций, даваемое измерительным прибором, оказывается меньше, чем вследствие ошибок, возникающих в приборе. Источником этих ошибок являются тепловые флюктуации, в частности флюктуации тока, протекающего через катушки Предполагаем, что температура Т измерительного прибора задана (Т берется в энергетических единицах). По законам статистической физики средняя энергия флюктуационного тока текущего через катушку индуктивности определяется формулой

т. е. пропорциональна абсолютной температуре Т. Полезный ток от источника э. д. с. (рис. 12.1 и 12.2) складывается с флюктуационным током Средняя энергия полезного тока и составляет в данном случае те самые энергетические затраты, о которых говорилось выше, которые присущи любому реальному измерителю. Найдем связь между энергетическими затратами и количеством информации, учитывая флюктуационный ток

Рис. 12.2. Другие способы соединения измерительных контактов.

При заданном полезном токе суммарный ток имеет гауссово распределение с дисперсией, находимой из (12.3.2), т. е.

Полезный ток [если выполняется (12.3.1)] при с вероятностью 1/2 принимает значение 0 и с вероятностью некоторое значение Следовательно,

Подсчитаем информацию связи Учитывая (12.3.3), (12.3.4), имеем

Первое выражение нужно усреднить с весом а второе — с весом Вводя переменную для второго интеграла), имеем для обоих интегралов одно и то же выражение

где

Следовательно, искомая информация равна этому же выражению. Приведем его к такому виду:

Второй член заведомо отрицателен, поскольку следовательно,

Но величина есть не что иное, как средняя энергия полезного тока:

Мы доказали тем самым, что для получения информации затрата средней энергии полезного тока должна превосходить Сказанное относится к одной катушке. Суммируя по различным цепям, для получения суммарной информации необходимо затратить энергии в среднем не менее чем 77. Для данного измерительного прибора подтверждается, следовательно, сказанное выше об энергетических затратах, необходимых для получения информации. Учет тепловых флюктуаций в других элементах прибора еще более усиливает неравенство