Главная > Теория информации
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Глава 3. КОДИРОВАНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ШТРАФОВ. ПЕРВАЯ ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА

Количество информации, которое можно записать или передать, определяется логарифмом числа различных реализаций записи или передачи. Подсчет этого числа, однако, не всегда является простым делом. Он может осложняться наличием каких-либо ограничений, наложенных на допустимые реализации. Вместо непосредственного вычисления числа реализаций во многих случаях целесообразно вычислять максимальное значение энтропии записи, беря максимум по распределениям, совместимым с условиями, наложенными на математическое ожидание определенной случайной величины штрафов. Это максимальное значение энтропии носит название пропускной способности канала без помех. Описанная вариационная задача является первой из ряда основных вариационных задач, играющих большую роль в теории информации.

Соотношения, полученные в результате решения указанной вариационной задачи, оказываются аналогичными соотношениям статистической термодинамики (см., например, учебники Леонтовича [1, 2]). Для нахождения пропускной способности и оптимальных распределений удобно применять разработанные там методы. Эти методы основаны на систематическом использовании термодинамических потенциалов и формул. Функция штрафов при этом служит аналогом энергии. В теории подобающее место находят температура, свободная энергия и другие термодинамические понятия. Тем самым математический аппарат этого раздела теории информации смыкается с аппаратом статистической термодинамики.

Подобная аналогия будет наблюдаться и в дальнейшем для второй и третьей вариационных задач (§ 8.2, 9.4 соответственно). Следует подчеркнуть, что указанная аналогия имеет не только принципиальное, но и практическое значение. Она позволяет использовать методы и результаты статистической термодинамики.

Рассмотрение и решение ряда частных задач (пример 3 из § 3.4) на оптимальное кодирование со штрафами математически эквивалентно расчету одномерной модели Изинга, хорошо известной в статистической физике.

В конце главы приведено распространение результатов на более общее определение энтропии, справедливое для непрерывных и произвольных случайных величин.

3.1. Прямой способ вычисления информационной емкости записи для одного примера

Рассмотрим один пример записи информации, для которого подсчет информационной емкости или пропускной способности где М — число различных вариантов записи, не тривиален. Это случай неодинаковой длительности символов.

Пусть имеются сивмволов которые имеют длину соответственно. Возможно (но необязательно), что они являются комбинациями более элементарных равнодлинных букв и есть число таких букв. Тогда символы будут, в сущности, кодовыми словами наподобие тех, которые были рассмотрены ранее. Теперь, однако, заполнение буквами является фиксированным и не меняется в процессе нашего рассмотрения.

Возьмем для примера четыре телеграфных символа:

Во второй колонку приведена запись этих символов в двоичном алфавите: третьей колонке указана их длительность в этом алфавите. Конечно, символы можно называть не «словами», а «буквами» некоторого нового, более сложного алфавита.

Пусть имеется запись (или передача)

из символов. Ее длина, очевидно, равна

Зафиксируем эту суммарную длину записи и будем подсчитывать число различных реализаций записи данной длины. Отбрасывая последний символ получаем последовательность меньшей длины Каждая такая укороченная последовательность может быть осуществлена различными способами. Суммируя различные возможности, получаем уравнение

которое позволяет найти как функцию от После того, как число найдено, легко определить информацию, которая может быть передана записью длины Как и в предыдущих случаях,

максимальная информация достигается, когда все из возможностей равновероятны. При этом

энтропия записи). Взяв предел этого отношения при получим энтропию записи, рассчитанную на единицу длины:

Как видно из этой формулы, нет надобности находить точное решение уравнения (3.1.3), а достаточно рассмотреть лишь асимптотическое поведение при больших Уравнение (3.1.3) является линейным и однородным. Как и для всякого такого уравнения, можно искать решение в виде

Подобное решение обычно оказывается возможным лишь при определенных («собственных») значениях С помощью спектра этих «собственных» значений общее решение записывается в виде

где постоянные определяются из начальных условий. Подставляя (3.1.5) в (3.1.3), получаем «характеристическое» уравнение

позволяющее найти собственные значения Функция

как легко видеть, является монотонной убывающей функцией от X на полупрямой причем юна убывает от до 0, поскольку все Следовательно, существует лишь один единственный положительный корень уравнения

Уравнения (3.1.7), (3.1.9) переходят одно в другое, если положить

Поэтому, уравнение (3.1.7) также имеет лишь один действительный корень.

При достаточно больших в сумме, стоящей в правой части (3.1.6), превалирующим будет член с максимальным значением

действительной части собственного значения Отметим это собственное значение индексом

При этом из (3.1.6) будем иметь

Поскольку функция не может быть комплексной и знакопеременной, то собственное значение обязано быть действительным: Но (3.1.10) есть единственное действительное собственное значение. Следовательно, значение и есть искомое собственное значение с максимальной действительной частью. Формула (3.1.11) принимает вид

а предел (3.1.4) оказывается равным

что дает решение поставленной задачи. Оно впервые было получено Шенноном

1
Оглавление
email@scask.ru