4.4. Некоторые теоремы, касающиеся характеристического потенциала

1. Характеристический потенциал случайных величин (или производящая функция семиинвариантов) был ранее определен формулой (4.1.11а). Если задано семейство распределений то выражается через потенциал по формуле (4.1.12а). Если же задано не семейство распределений, а просто случайная величина с распределением вероятностей то можно построить семейство распределений

Вследствие (4.1.11а) постоянная нормировки выражается через так что

Тем самым на основе построено семейство Помимо характеристического потенциала исходного распределения по формуле (4.1.12а), т. е. по формуле

можно находить характеристический потенциал любого распределения (4.4.1) указанного семейства.

2. Рассмотрим сначала простой случай одной величины и докажем несложную, но полезную теорему.

Теорема 4.6. Пусть область значений параметра, входящего в (4.4.1), включает отрезок причем потенциал дифференцируем на этом отрезке. Тогда функция распределения

удовлетворяет неравенству Чернова

где

если последнее уравнение имеет корень

Доказательство. Учитывая (4.4.1), запишем (4.4.3) в виде

вариант дискретной случайной величины Очевидно, что

и, кроме того,

Подставляя (4.4.7), (4.4.8) в (4.4.6), получаем

при любом а в том числе и при где корень уравнения (4.4.5), если он существует. Для этого корня, очевидно, (4.4.9) переходит в (4.4.4). Доказательство закончено.

Поскольку значение есть не что иное, как среднее значение

то для выполнения условия вследствие монотонности (неубывания) функции по теореме 4.1) необходимо выполнение условия х. Когда имеет место противоположное неравенство , то теорему нужно заменить нижеследующей.

Теорема 4.7. Если выполнены условия предыдущей теоремы с той лишь разницей, что уравнение (4.4.7) имеет положительный корень то вместо (4.4.4) выполняется неравенство

Доказательство этой теоремы аналогично предыдущему, и мы не будем на нем останавливаться.

Сравнивая (4.1.5) с (4.1.14) [см. также (3.5.5.а)], нетрудно видеть, что х играет роль параметра, сопряженного с а относительно потенциала Выражение

рассматриваемое как функция от х, есть преобразование Лежандра потенциала При помощи потенциала (4.4.11) формулы (4.4.4), (4.4.10) принимают более короткий вид

Сформулированные выше теоремы допускают также многомерное обобщение, т. е. обобщение на случай многих переменных В этом случае возможны не две различные формулы (4.4.4), (4.4.10), а формул в зависимости от знаков корней В правой части всех этих формул, которые можно записать так:

неизменно стоит одно и то же выражение где

— преобразование Лежандра многомерного характеристического потенциала

Вероятности в левой части соотношений (4.4.12), (4.4.13) при другом возможном обобщении могут браться в соответствии с распределением

(в частности (4.4.1)), а не с Тогда вместо (4.4.13), (4.4.14) будем иметь

где

— преобразование Лежандра потенциала Чтобы убедиться в справедливости этих формул, нужно принять во внимание и формулы (4.4.13), (4.4.14) предыдущего случая.

3. Выведем формулы, выполняющиеся, в отличие от (4.4.3), (4.4.10), (4.4.13), (4.4.15), со знаком равенства, но являющиеся асимптотическими, т. е. справедливыми при больших или Г.

Теорема 4.8. Пусть случайная величина В есть сумма одинаково распределенных независимых случайных величин и соответствующий ей характеристический потенциал определен и дифференцируем (достаточное число раз) на отрезке а Тогда при значениях для которых уравнение

имеет корень и для которых выполняется неравенство

функция распределения (4.4.3) случайной величины В определяется асимптотической формулой:

Доказательство. Возьмем значения В такие, что соответствующие им корни уравнения (4.4.17) лежат на отрезке и воспользуемся для них известной формулой обращения

(формула Леви). Здесь характеристическая функция. Предел в правой части (4.4.20) представим как предел разности двух интегралов

В качестве контура интегрирования возьмем контур, идущий из через седловую точку первого интеграла, которая определяется уравнением

Оно получено приравниванием нулю производной от выражения, стоящего в экспоненте. Обозначим через контур, идущий из

в через седловую точку второго интеграла, определяемую уравнения

и постараемся во втором интеграле (4.4.21) заменить контур интегрирования на

Поскольку то указанные две седловые точки при достаточно больших лежат по разные стороны от начала координат Поэтому, чтобы изменить указанным образом контур интегрирования на во втором интеграле в (4.4.21) нужно учесть вычет в точке что дает

Интегралы в (4.4.21), (4.4.23) будем брать методом скорейшего спуска. Учитывая, что (теорема 4.1), легко видеть, что направление скорейшего спуска перпендикулярно действительной оси:

Используя разложение

согласно (4.2.166) получаем

(Наибольший член остатка дается четвертой производной и имеет вид Сравнивая (4.4.22) с уравнением

эквивалентным уравнению (4.4.17), имеем

Для вывода требуемого соотношения (4.4.19) достаточно взять формулу, вытекающую из (4.4.24) и (4.4.25)

где

Аналогично берется второй интеграл (4.4.23), что дает

Подставляя (4.4.26) и (4.4.27) в (4.4.21), в силу (4.4.20) имеем

(здесь учтено, что корни берутся положительные).

Это равенство определяет и с точностью до некоторой аддитивной постоянной:

Чтобы оценить постоянную возьмем точку из отрезка из отрезка и соответствующие им значения Учитывая неравенство и подставляя (4.4.28) в его правую часть, будем иметь

Следовательно,

Подставляя это выражение в равенство

вытекающее из (4.4.28) при находим

Из (4.4.28), (4.4.29) нетрудно получить

Если не зависят от и выбраны таким образом, что

то члены в (4.4.30) стремятся к нулю при быстрее, чем о и мы из (4.4.30) получаем первое равенство (4.4.19). Второе равенство вытекает из (4.4.29) при выполнении неравенств

Поскольку является монотонной на отрезках точки для которых выполнялись бы неравенства (4.4.31), (4.4.32), заведомо можно подобрать, если выполнено условие (4.4.18). Доказательство закончено.

Как видно из приведенного доказательства, отмеченное в условии теоремы 4.8 требование, чтобы случайная величина В равнялась сумме одинаково распределенных независимых величин, является необязательным. Достаточно дружного (пропорционального) возрастания результирующего потенциала для того, чтобы члены, подобные члену в правой части (4.4.24), были малы. Поэтому формула (4.4.19) справедлива и в более общем случае, если заменить на и понимать эту оценку в только что отмеченном смысле.

Если формулу (4.4.19) применить не к распределению а к распределению зависящему от параметра, то вследствие (4.1.12а) будем иметь и формула (4.4.19) примет вид

где - преобразование Лежандра.

Не представляет труда также обобщить теорему 4.8 на случай многих случайных величин Соответствующее этому обобщение формулы (4.4.19), если применить ту же форму записи, что и в (4.4.13), будет

где определена посредством (4.4.14).

Наконец, обобщение последней формулы на случай параметрического распределения [а формулы (4.4.33) на многомерный случай] запишется следующим образом:

Приведенные выше результаты свидетельствуют о важной роли потенциалов и их отображений по Лежандру. Примененный метод доказательства объединяет теорему 4.8 с теоремами 4.3 — 4.5.