Главная > Теория информации
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

1.7. Свойства энтропии в обобщенной версии. Условная энтропия

Определенная в предыдущем параграфе энтропия (1.6.13), (1.6.16) обладает рядом свойств, аналогичных свойствам энтропии дискретной случайной величины, рассмотренным ранее. Такая аналогия является вполне естественной, если принять во внимание изложенную в § 1.6 интерпретацию энтропии (1.6.13) как асимптотического случая (при больших энтропии (1.6.1) дискретной случайной величины.

Свойство неотрицательности энтропии, о котором шла речь в теореме 1.1, для энтропии (1.6.13), (1.6.16) выполняется не всегда, а лишь при достаточно больших Условие

приводит к неотрицательности энтропии

Перейдем к теореме 1.2, в которой рассматривалось максимальное значение энтропии. В случае энтропии (1.6.13) при сравнении различных распределений Р меру нужно оставлять

фиксированной. Как указывалось, величина (1.6.17) является неотрицательной, поэтому из (1.6.16) имеем неравенство

В то же время, если положить то, очевидно, будем иметь

Это доказывает следующее утверждение, являющееся аналогом теоремы 1.2.

Теорема 1.15. Энтропия (1.6.13) принимает максимальное значение, равное когда мера Р пропорциональна мере

Этот результат является вполне естественным в свете данной в § 1.6 дискретной интерпретации формулы (1.6.13). В самом деле, пропорциональность мер означает именно равномерное распределение вероятности по дискретным точкам и теорема 1.15 становится перефразировкой теоремы 1.2. Аналогом теорем 1.2 и 1.15 для энтропии является следующее утверждение: энтропия принимает минимальное значение, равное нулю, когда распределение Р совпадает с

В соответствии с теоремой 1.15 энтропию определенную формулой (1.6.17), целесообразно интерпретировать как дефект энтропии, т. е. как нехватку этой величины до ее максимального значения.

До сих пор предполагалось, что мера Р является абсолютно непрерывной относительно меры или (что при конечных то же самое) меры Возникает вопрос, как определять энтропию или когда этой абсолютной непрерывности нет. Ответ на этот вопрос можно получить, рассматривая формулу (1.6.16) как асимптотический случай (при очень большом дискретной версии (1.6.1). Если, уплотняя точки о которых шла речь в § 1.6, вероятности некоторых таких точек, вопреки формуле (см. (1.6.4а)), оставлять конечными: (с не зависит от то в пределе мера не будет абсолютно непрерывна относительно меры Р. Дефект при в этом случае будет неограниченно возрастать. Это дает основание считать, что

если мера Р не является абсолютно непрерывной относительно (т. е. является сингулярной относительно ее). Сказанное, правда, еще не определяет энтропии при отсутствии абсолютной непрерывности, так как для нее согласно (1.6.16) получается неопределенность типа . Для ее определения требуется более детальный анализ предельного перехода связанного с уплотнением точек

Прочие свойства энтропии в дискретной версии, указанные в теоремах 1.3, 1.4, 1.6, касаются энтропии многих случайных величин и условной энтропии. При соответствующем определении последних

понятий данные свойства будут иметь место и для обобщенной версии, основанной на определении (1.6.13).

Пусть имеются две случайные величины В соответствии с (1.6.13) они имеют энтропию

В то же время, применяя формулу (1.6.13) к одной случайной величине или имеем

Здесь некоторые меры; их связь с рассматривается ниже. Условную энтропию определим как разность

т. е. так, чтобы было выполнено свойство аддитивности

Учитывая (1.6.13), (1.7.2), легко видеть, что для будем иметь формулу

где условные меры, определяемые как производные Радона-Никодима при помощи обычных соотношений

(множества произвольны). Определению (1.7.4) соответствует случайная энтропия

Данное выше определение условной энтропии можно многократно использовать при поэтапном рассмотрении цепочки случайных величин При этом соотношение (1.7.3) приведет к выполнению свойства иерархической аддитивности:

аналогичного (1.3.4).

Чтобы энтропии и другие можно было интерпретировать как меры неопределенности, необходимо, чтобы в обобщенной версии выполнялось неравенство

обычное для дискретной версии. Между тем это неравенство удается доказать не в самом общем случае, как это можно видеть из последующей формулы (1.7.6).

Теорема 1.16. Если выполнено условие

то неравенство выполняется.

Доказательство. Для разности будем иметь

Но для любых вероятностных мер справедливо неравенство

которое является обобщением неравенства (1.3.7) и может быть доказано тем же самым способом. Применяя (1.7.7) к (1.7.6) при получаем, что первый член в правой части (1.7.6) неотрицателен. Второй член можно записать так:

Отсюда видна его неотрицательность в силу условия (1.7.5). Следовательно, разность (1.7.6) неотрицательна. Доказательство закончено.

Неравенство (1.7.5) естественным образом выполняется, когда интерпретируется согласно сказанному в § 1.6 как число дискретных точек в А, имеющих ненулевую вероятность. Тогда интерпретируется как число таких точек на интервале как число точек на интервале В прямоугольнике естественно, остается не более разрешенных точек.

Если не придерживаться указанной интерпретации, то условие (1.7.5) придется постулировать независимо. Особенно удобно принимать условие мультипликативности

которое мы будем в дальнейшем постулировать.

Итак, Энтропия в обобщенной версии имеет обычные свойства, т. е. не только обладает свойством иерархической аддитивности, но и удовлетворяет обычным неравенствам, если выполняется условие мультипликативности (1.7.8). Когда имеется несколько случайных величин удобно выбирать меру удовлетворяющую условию полной мультипликативности

которое мы понимаем как условие согласования вспомогательных мер. Согласно (1.7.9) мера комбинированной случайной величины распадается на произведение «элементарных» мер Тогда в соответствии с приведенными выше формулами будем иметь

Если случайные величины являются статистически независимыми, то (с вероятностью единица). Следовательно,

и из (1.7.4а) получаем свойство аддитивности

совпадающее с (1.2.9).

Перейдем к рассмотрению нормированных мер

где

и соответствующих им энтропий (1.6.17). Для них справедливы соотношения

типа (1.6.16). Полагая

и принимая условие мультипликативности

определяем условную энтропию естественной формулой

так что

При этом выполняется свойство аддитивности

Учитывая (1.7.2), приведем неравенство (1.7.46) к виду

Используя (1.7.14), при (1.7.15), (1.7.16), отсюда получаем

Вследствие (1.7.18) это неравенство можно записать

Сравнивая его с видно, что знак для энтропии заменился на обратный Это является убедительным свидетельством тому, что энтропии нельзя трактовать как меру неопределенности, как это делается с энтропиями (1.6.1) или (1.6.13).

В случае многих случайных величин целесообразно принимать условия типа (1.7.15), (1.7.16) для многих величин и пользоваться свойством иерархической аддитивности

Это свойство аналогично (1.3.4) и (1.7.4а).

1
Оглавление
email@scask.ru