Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
1.7. Свойства энтропии в обобщенной версии. Условная энтропияОпределенная в предыдущем параграфе энтропия (1.6.13), (1.6.16) обладает рядом свойств, аналогичных свойствам энтропии дискретной случайной величины, рассмотренным ранее. Такая аналогия является вполне естественной, если принять во внимание изложенную в § 1.6 интерпретацию энтропии (1.6.13) как асимптотического случая (при больших Свойство неотрицательности энтропии, о котором шла речь в теореме 1.1, для энтропии (1.6.13), (1.6.16) выполняется не всегда, а лишь при достаточно больших
приводит к неотрицательности энтропии Перейдем к теореме 1.2, в которой рассматривалось максимальное значение энтропии. В случае энтропии (1.6.13) при сравнении различных распределений Р меру фиксированной. Как указывалось, величина (1.6.17) является неотрицательной, поэтому из (1.6.16) имеем неравенство
В то же время, если положить
Это доказывает следующее утверждение, являющееся аналогом теоремы 1.2. Теорема 1.15. Энтропия (1.6.13) принимает максимальное значение, равное Этот результат является вполне естественным в свете данной в § 1.6 дискретной интерпретации формулы (1.6.13). В самом деле, пропорциональность мер В соответствии с теоремой 1.15 энтропию определенную формулой (1.6.17), целесообразно интерпретировать как дефект энтропии, т. е. как нехватку этой величины до ее максимального значения. До сих пор предполагалось, что мера Р является абсолютно непрерывной относительно меры
если мера Р не является абсолютно непрерывной относительно Прочие свойства энтропии в дискретной версии, указанные в теоремах 1.3, 1.4, 1.6, касаются энтропии многих случайных величин и условной энтропии. При соответствующем определении последних понятий данные свойства будут иметь место и для обобщенной версии, основанной на определении (1.6.13). Пусть имеются две случайные величины
В то же время, применяя формулу (1.6.13) к одной случайной величине
Здесь
т. е. так, чтобы было выполнено свойство аддитивности
Учитывая (1.6.13), (1.7.2), легко видеть, что для
где
(множества
Данное выше определение условной энтропии
аналогичного (1.3.4). Чтобы энтропии
обычное для дискретной версии. Между тем это неравенство удается доказать не в самом общем случае, как это можно видеть из последующей формулы (1.7.6). Теорема 1.16. Если выполнено условие
то неравенство Доказательство. Для разности
Но для любых вероятностных мер
которое является обобщением неравенства (1.3.7) и может быть доказано тем же самым способом. Применяя (1.7.7) к (1.7.6) при
Отсюда видна его неотрицательность в силу условия (1.7.5). Следовательно, разность (1.7.6) неотрицательна. Доказательство закончено. Неравенство (1.7.5) естественным образом выполняется, когда Если не придерживаться указанной интерпретации, то условие (1.7.5) придется постулировать независимо. Особенно удобно принимать условие мультипликативности
которое мы будем в дальнейшем постулировать. Итак, Энтропия в обобщенной версии имеет обычные свойства, т. е. не только обладает свойством иерархической аддитивности, но и удовлетворяет обычным неравенствам, если выполняется условие мультипликативности (1.7.8). Когда имеется несколько случайных величин
которое мы понимаем как условие согласования вспомогательных мер. Согласно (1.7.9) мера
Если случайные величины
и из (1.7.4а) получаем свойство аддитивности
совпадающее с (1.2.9). Перейдем к рассмотрению нормированных мер
где
и соответствующих им энтропий (1.6.17). Для них справедливы соотношения
типа (1.6.16). Полагая
и принимая условие мультипликативности
определяем условную энтропию естественной формулой
так что
При этом выполняется свойство аддитивности
Учитывая (1.7.2), приведем неравенство (1.7.46) к виду
Используя (1.7.14), при (1.7.15), (1.7.16), отсюда получаем
Вследствие (1.7.18) это неравенство можно записать
Сравнивая его с В случае многих случайных величин целесообразно принимать условия типа (1.7.15), (1.7.16) для многих величин и пользоваться свойством иерархической аддитивности
Это свойство аналогично (1.3.4) и (1.7.4а).
|
1 |
Оглавление
|