Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
1.7. Свойства энтропии в обобщенной версии. Условная энтропияОпределенная в предыдущем параграфе энтропия (1.6.13), (1.6.16) обладает рядом свойств, аналогичных свойствам энтропии дискретной случайной величины, рассмотренным ранее. Такая аналогия является вполне естественной, если принять во внимание изложенную в § 1.6 интерпретацию энтропии (1.6.13) как асимптотического случая (при больших Свойство неотрицательности энтропии, о котором шла речь в теореме 1.1, для энтропии (1.6.13), (1.6.16) выполняется не всегда, а лишь при достаточно больших
приводит к неотрицательности энтропии Перейдем к теореме 1.2, в которой рассматривалось максимальное значение энтропии. В случае энтропии (1.6.13) при сравнении различных распределений Р меру фиксированной. Как указывалось, величина (1.6.17) является неотрицательной, поэтому из (1.6.16) имеем неравенство
В то же время, если положить
Это доказывает следующее утверждение, являющееся аналогом теоремы 1.2. Теорема 1.15. Энтропия (1.6.13) принимает максимальное значение, равное Этот результат является вполне естественным в свете данной в § 1.6 дискретной интерпретации формулы (1.6.13). В самом деле, пропорциональность мер В соответствии с теоремой 1.15 энтропию определенную формулой (1.6.17), целесообразно интерпретировать как дефект энтропии, т. е. как нехватку этой величины до ее максимального значения. До сих пор предполагалось, что мера Р является абсолютно непрерывной относительно меры
если мера Р не является абсолютно непрерывной относительно Прочие свойства энтропии в дискретной версии, указанные в теоремах 1.3, 1.4, 1.6, касаются энтропии многих случайных величин и условной энтропии. При соответствующем определении последних понятий данные свойства будут иметь место и для обобщенной версии, основанной на определении (1.6.13). Пусть имеются две случайные величины
В то же время, применяя формулу (1.6.13) к одной случайной величине
Здесь
т. е. так, чтобы было выполнено свойство аддитивности
Учитывая (1.6.13), (1.7.2), легко видеть, что для
где
(множества
Данное выше определение условной энтропии
аналогичного (1.3.4). Чтобы энтропии
обычное для дискретной версии. Между тем это неравенство удается доказать не в самом общем случае, как это можно видеть из последующей формулы (1.7.6). Теорема 1.16. Если выполнено условие
то неравенство Доказательство. Для разности
Но для любых вероятностных мер
которое является обобщением неравенства (1.3.7) и может быть доказано тем же самым способом. Применяя (1.7.7) к (1.7.6) при
Отсюда видна его неотрицательность в силу условия (1.7.5). Следовательно, разность (1.7.6) неотрицательна. Доказательство закончено. Неравенство (1.7.5) естественным образом выполняется, когда Если не придерживаться указанной интерпретации, то условие (1.7.5) придется постулировать независимо. Особенно удобно принимать условие мультипликативности
которое мы будем в дальнейшем постулировать. Итак, Энтропия в обобщенной версии имеет обычные свойства, т. е. не только обладает свойством иерархической аддитивности, но и удовлетворяет обычным неравенствам, если выполняется условие мультипликативности (1.7.8). Когда имеется несколько случайных величин
которое мы понимаем как условие согласования вспомогательных мер. Согласно (1.7.9) мера
Если случайные величины
и из (1.7.4а) получаем свойство аддитивности
совпадающее с (1.2.9). Перейдем к рассмотрению нормированных мер
где
и соответствующих им энтропий (1.6.17). Для них справедливы соотношения
типа (1.6.16). Полагая
и принимая условие мультипликативности
определяем условную энтропию естественной формулой
так что
При этом выполняется свойство аддитивности
Учитывая (1.7.2), приведем неравенство (1.7.46) к виду
Используя (1.7.14), при (1.7.15), (1.7.16), отсюда получаем
Вследствие (1.7.18) это неравенство можно записать
Сравнивая его с В случае многих случайных величин целесообразно принимать условия типа (1.7.15), (1.7.16) для многих величин и пользоваться свойством иерархической аддитивности
Это свойство аналогично (1.3.4) и (1.7.4а).
|
1 |
Оглавление
|