Главная > Теория информации
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

6.6. Удельная информация стационарных и стационарно связанных процессов. Гауссовы процессы

1. Будем предполагать теперь, что как первая, так и вторая группа случайных величин представляют собой стационарные процессы

в дискретном или непрерывном времени Эти процессы предполагаются не только стационарными, но и стационарно связанными, так что комбинированный процесс является стационарным. Для отрезка можно рассматривать энтропии определенные в соответствии с формулами и результатами гл. 5. Здесь

Согласно общей формуле (6.2.2) эти энтропии позволяют вычислить информацию связи

Определим удельную информацию связи процессов как предел

Если сюда подставить (6.6.2), то, очевидно,

Пределы, стоящие в правой части этого равенства, существуют в соответствии с теоремами 5.1 и 5.4 и соответственно равны

(для дискретного времени, когда целое, о совпадает с , а для непрерывного времени мы пользуемся формулой (5.6.10), полагая в ней Поэтому (6.6.4) принимает вид

Разумеется, информация (6.6.2) и удельная информация (6.6.6) могут быть конечными не только в том случае, когда или конечны по отдельности. Поэтому, в принципе, можно вычислять информацию, минуя вычисление энтропий. Однако в практических случаях, когда информация конечна, всегда так можно подобрать вспомогательные меры входящие в определение энтропии (§ 1.6), чтобы были конечны все члены в (6.6.2), (6.6.6). Тогда задача вычисления информации связи сведется к рассмотренной в гл. 5 более простой задаче вычисления удельных энтропий, хотя бы при одном (самом удобном) выборе меры или Согласно сказанному в § 6.4 нужно следить, чтобы выполнялось условие мультипликативности (6.4.1) или (6.4.8), принимающее для процессов (6.6.1) вид

или

При этом согласно (6.4.9) вместо (6.6.2), (6.6.6) можно брать формулы

где энтропийные плотности тина

Кроме удельной информации рассмотрим информацию конца интервала, аналогичную энтропии Г конца интервала, входящей в формулу

Сравнивая соотношение (5.6.15) с формулой (6.2.2), легко видеть, что постоянную можно интерпретировать как информацию связи случайного процесса на одной полупрямой с процессом на другой полупрямой (

Формулы (6.6.9), (6.6.10) справедливы для каждого из процессов Подставляя подобные выражения для каждой энтропии в (6.6.2) и учитывая (6.6.6), получаем

Это равенство позволяет вычислить информацию для конечного отрезка [0, Т) более точно, чем по формуле вытекающей из (6.6.3).

2. Применим приведенные выше формулы для вычисления удельной информации связи двух гауссовых стационарных случайных последовательностей Поскольку средние значения гауссовых переменных не влияют на величину информации связи (см. например, без ограничения общности можно полагать, что средние значения равны нулю:

Корреляционные матрицы

или соответствующие спектральные плотности

предполагаются заданными.

Для вычисления удельной информации применим формулу (6.6.6). Входящие в нее удельные энтропии для стационарных гауссовых последовательностей были вычислены в § 5.5. Энтропии

определяются равенством (5.5.17), а для отыскания энтропии можно использовать формулу (5.5.19). Итак, имеем

Подстановка этих выражений в (6.6.6) приводит к результату

Поскольку является как бы квадратом коэффициента корреляции для спектральных составляющих, которые соответствуют значению выражение в правой части равенства (6.6.12) можно интерпретировать как сумму информации различных спектральных составляющих. Каждое же слагаемое определяется простой формулой (6.5.11).

Перейдем к многомерному случаю. Найдем удельную информацию связи группы стационарных гауссовых последовательностей с другой группой последовательностей В совокупности эти последовательности описываются корреляционной матрицей или матрицей спектральных плотностей

эрмитово-сопряженная матрица). Здесь матрица плотностей для группы процессов матрица для процессов матрица взаимных спектральных функций.

Применяя (5.5.19), формуле (6.6.6) находим удельную энтропию

К подынтегральному выражению можно применить все те преобразования, которые от формулы (6.5.3) привели к (6.5.6). После этого равенство (6.6.14) примет вид

что является матричным обобщением формулы (6.6.12).

Приведенные здесь результаты можно получить также при помощи формул (6.6.8), (5.5.20), как будет видно из дальнейшего.

3. Вычислим теперь удельную информацию связи двух групп стационарных гауссовых процессов: протекающих в непрерывном времени. Они описываются совокупной корреляционной матрицей или совокупной матрицей спектральных плотностей

обозначает комплексное сопряжение), аналогичной матрице (6.6.13). Здесь матрица спектральных плотностей для первой группы матрица для второй группы матрица взаимных спектральных функций, связывающих процессы первой и второй групп.

Для вычисления удельной информации связи применим теперь формулу (6.6.8), где удельные энтропии вычисляются по формуле (5.7.25). В качестве меры возьмем гауссову меру, задаваемую совокупной матрицей спектральных плотностей

Взаимные спектральные плотности здесь положены равными нулю для того, чтобы было выполнено условие мультипликативности (6.6.7). Если средние значения выбрать совпадающими с (что, конечно, совершенно необязательно для получения окончательного результата), из (5.7.25) будем иметь

где

Матрицы подбираются таким образом, чтобы указанные интегралы по сходились. Остается подставить выражения (6.6.17) в (6.6.8). Нетрудно убедиться, что при этом вклады первых двух членов функции взаимно уничтожатся. В самом деле, вследствие специального вида матрицы (6.6.16) имеем

Но это есть в точности сумма соответствующих выражений от

Поэтому в подынтегральном выражении останутся лишь логарифмические члены

Члены с вспомогательными спектральными плотностями полностью выпадают опять-таки из-за отсутствия взаимных корреляций так как

и мы получаем

Здесь использована также формула (6.5.4). Подынтегральное выражение аналогично выражению, стоящему в правой части (6.5.3).

Точно так же, как и в § 6.5, его можно преобразовать к виду (6.5.6) или (6.5.7). При этом найденная формула (6.6.18) примет вид

Очевидна аналогия этого результата с соответствующей формулой (6.6.15) для стационарных последовательностей. В частном случае, когда рассматривается информация связи одного процесса с одним процессом из (6.6.19), имеем

Нетрудно применить полученные формулы к случаю аддитивных независимых помех (частный случай 3 из § 6.5). В этом случае имеют место соотношения

аналогичные (6.5.15), (6.5.16). Подробно тому, как формула (6.5.6) приняла вид (6.5.17), вследствие соотношений (6.6.21) выражение (6.6.19) перейдет в выражение

(О затронутых здесь вопросах см. работу Пинскера [1]).

В случае стационарных гауссовых процессов кроме средней удельной информации связи можно вычислить также удельный характеристический потенциал случайной информации. Удельный потенциал выражается через полный характеристический потенциал (6.4.10) обычным предельным переходом

так что Его нетрудно вычислить при помощи формулы (6.5.25), подобно тому, как удельная информация (6.6.19) может быть вычислена из (6.5.6). Принимая во внимание выше изложенное, нетрудно сообразить, какой вид будет иметь выражение для удельного потенциала в различных случаях. Так, в том случае, когда справедлива формула (6.6.19), удельный потенциал имеет вид

Из этого результата можно получить как удельную информацию (6.6.19), так и удельную дисперсию

а также прочие удельные статистические характеристики случайной информации.

1
Оглавление
email@scask.ru