Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
6.6. Удельная информация стационарных и стационарно связанных процессов. Гауссовы процессы1. Будем предполагать теперь, что как первая, так и вторая группа случайных величин представляют собой стационарные процессы
в дискретном или непрерывном времени
Согласно общей формуле (6.2.2) эти энтропии позволяют вычислить информацию связи
Определим удельную информацию связи процессов
Если сюда подставить (6.6.2), то, очевидно,
Пределы, стоящие в правой части этого равенства, существуют в соответствии с теоремами 5.1 и 5.4 и соответственно равны
(для дискретного времени, когда
Разумеется, информация (6.6.2) и удельная информация (6.6.6) могут быть конечными не только в том случае, когда
или
При этом согласно (6.4.9) вместо (6.6.2), (6.6.6) можно брать формулы
где
Кроме удельной информации рассмотрим информацию конца интервала, аналогичную энтропии Г конца интервала, входящей в формулу
Сравнивая соотношение (5.6.15) с формулой (6.2.2), легко видеть, что постоянную
Формулы (6.6.9), (6.6.10) справедливы для каждого из процессов
Это равенство позволяет вычислить информацию для конечного отрезка [0, Т) более точно, чем по формуле 2. Применим приведенные выше формулы для вычисления удельной информации связи двух гауссовых стационарных случайных последовательностей
или соответствующие спектральные плотности
предполагаются заданными. Для вычисления удельной информации применим формулу (6.6.6). Входящие в нее удельные энтропии для стационарных гауссовых последовательностей были вычислены в § 5.5. Энтропии
Подстановка этих выражений в (6.6.6) приводит к результату
Поскольку Перейдем к многомерному случаю. Найдем удельную информацию связи группы стационарных гауссовых последовательностей
Применяя (5.5.19),
К подынтегральному выражению можно применить все те преобразования, которые от формулы (6.5.3) привели к (6.5.6). После этого равенство (6.6.14) примет вид
что является матричным обобщением формулы (6.6.12). Приведенные здесь результаты можно получить также при помощи формул (6.6.8), (5.5.20), как будет видно из дальнейшего. 3. Вычислим теперь удельную информацию связи двух групп стационарных гауссовых процессов:
Для вычисления удельной информации связи применим теперь формулу (6.6.8), где удельные энтропии
Взаимные спектральные плотности
где
Матрицы
Но это есть в точности сумма соответствующих выражений от Поэтому в подынтегральном выражении останутся лишь логарифмические члены
Члены с вспомогательными спектральными плотностями
и мы получаем
Здесь использована также формула (6.5.4). Подынтегральное выражение аналогично выражению, стоящему в правой части (6.5.3). Точно так же, как и в § 6.5, его можно преобразовать к виду (6.5.6) или (6.5.7). При этом найденная формула (6.6.18) примет вид
Очевидна аналогия этого результата с соответствующей формулой (6.6.15) для стационарных последовательностей. В частном случае, когда рассматривается информация связи одного процесса
Нетрудно применить полученные формулы к случаю аддитивных независимых помех (частный случай 3 из § 6.5). В этом случае имеют место соотношения
аналогичные (6.5.15), (6.5.16). Подробно тому, как формула (6.5.6) приняла вид (6.5.17), вследствие соотношений (6.6.21) выражение (6.6.19) перейдет в выражение
(О затронутых здесь вопросах см. работу Пинскера [1]). В случае стационарных гауссовых процессов кроме средней удельной информации связи можно вычислить также удельный характеристический потенциал случайной информации. Удельный потенциал выражается через полный характеристический потенциал (6.4.10) обычным предельным переходом
так что
Из этого результата можно получить как удельную информацию (6.6.19), так и удельную дисперсию
а также прочие удельные статистические характеристики случайной информации.
|
1 |
Оглавление
|