Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
6.5. Информация связи гауссовых величин1. Рассмотрим две группы гауссовых случайных величин: Указанные гауссовские переменные характеризуются векторами средних значений
и корреляционными матрицами
Матрицы
где Т означает транспонирование. Используя (5.4.5), по формуле (6.2.5) находим случайную информацию
Для отыскания средней информации
Этому результату можно придать другую форму. Поскольку
для любой матрицы А, то формулу (6.5.3) можно преобразовать к виду
или, если учесть (6.5.1) и перемножить матрицы,
где 1 — единичные матрицы. Применим далее формулу
см. приложение
или
Если воспользоваться разложением логарифмической функции в ряд
то из (6.5.7) будем иметь
Мы получили несколько различных эквивалентных формул для вычисления информации связи гауссовых переменных. Некоторыми из них, например (6.5.7), можно пользоваться, приводя матрицы к диагональному виду, а некоторые формулы, например (6.5.3), (6.5.9), позволяют избежать этого. 2. Частный случай 1. Пусть в каждой группе имеется по одной переменной. Совместная корреляционная матрица (6.5.1) имеет вид
и из (6.5.6) имеем
Частный случай 2. Возьмем три гауссовы величины с корреляционной матрицей
и найдем информацию связи первой случайной величины с двумя остальными. В этом случае матрица К распадается на подматрицы следующим образом:
Поскольку
имеем
Эта матрица состоит лишь из одного элемента. По формуле (6.5.6) получаем
Этот результат можно получить и из формулы (6.5.3), вычисляя детерминанты
При этом (6.5.3) дает
что совпадает с (6.5.13). В дополнение к предыдущему вычислим тройную информацию связи (6.3.19) трех гауссовых случайных величин. Без ограничения общности их корреляционную матрицу можно брать в виде
Прибавляя сюда согласно (6.3.20) парные информации
Если произвести разложение найденного выражения по
Ее полезно сопоставить с вытекающей из (6.5.11) аналогичной формулой
для парной информации. 3. Частный случай 3. Рассмотрим случай аддитивных независимых помех, когда переменные второй группы первой группы
В этом случае число переменных первой и второй групп одно и то же
Чтобы применить формулу (6.5.7), вычислим
но
поэтому
Следовательно, формула (6.5.7) дает
Пусть
Если переменные
и (6.5.17) обращается в соотношение
В противном случае можно добиться диагональности (6.5.18) невырожденным линейным преобразованием С:
Это преобразование оставляет информацию (6.5.17) инвариантной, так как
Поэтому и в данном случае можно пользоваться формулой (6.5.19) после указанного преобразования. 4. Вычислим для гауссовых переменных характеристический потенциал (6.4.10) случайной информации связи. Для этого запишем случайную информацию (6.4.6), (6.5.2) в следующем виде:
где обозначено
Подставляя (6.5.20а) в формулу
и учитывая, что
при произвольной положительно определенной матрице
Объединим последние два члена:
Матрица Полученному результату можно придать различную форму. Поскольку
то, учитывая (6.5.3), характеристический потенциал (6.5.21) можно записать
Полученное выражение, как легко проверить, дает После перемножения матриц в правой части равенства (6.5.22) получим матрицу
Поэтому формуле (6.5.23) можно придать вид
Применяя формулу (6.5.5), придем к результату
или
что соответствует формулам (6.5.6), (6.5.7). Если использовать разложение (6.5.8), то будем иметь
по аналогии с (6.5.9). В частности, легко найти дисперсию случайной информации связи гауссовых переменных. Для этого нужно взять коэффициент при
Итак, мы видим, что все статистические свойства случайной информации связи гауссовых переменных определяются лишь одной единственной матрицей Для частного случая 1, рассмотренного ранее, в соответствии с формулами (6.5.25), (6.5.9) имеем
Не представляет труда применить приведенные формулы и к другим частным случаям.
|
1 |
Оглавление
|