Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
9.5. Решение вариационной задачи при некоторых дополнительных предположениях1. Приведем решение третьей вариационной задачи в более явном виде для двух частных случаев. Обозначив
запишем уравнение (9.4.22) в форме
Предположим сначала, что это уравнение допускает решение относительно неизвестной функции
обратное преобразованию
т. е.
Тогда из (9.5.2) будем иметь
и, если учесть (9.5.1),
Усреднение с весом
Используя (9.4.28), (9.4.29), отсюда получаем зависимость между
В последней формуле вычитаемое выражение в правой части, очевидно, имеет смысл условной энтропии Если ввести функцию
и ее преобразование Лежандра
то полученные результаты (9.5.5), (9.5.6) можно записать в следующей компактной форме:
2. Сделаем теперь другое предположение, а именно предположим, что функция
Сумма в левой части равенства напоминает статистическую сумму (3.3.11), (3.6.2), вводимую при решении первой вариационной задачи. В принятых предположениях эта сумма не должна зависеть от и. По аналогии с (9.1.3) обозначим
Тогда
и (после усреднения)
Как указывалось в предыдущем параграфе, функция
функции
Кроме вспомогательной функции
в полной аналогии с формулами (9.1.4), (9.1.5). Тогда преобразование Лежандра (9.5.11) функции (9.5.12) запишется так:
т. е.
в силу (9.5.13). Формула (9.5.14) согласуется с (9.5.7), поскольку функция
получаем формулу
вполне аналогичную формуле (9.1.6). Энтропия Таким образом, в рассматриваемом случае развитая теория ценности информации полностью подтверждает предварительные соображения, изложенные в § 9.1, в которых информация рассматривалась просто как разность двух энтропий, а не как шенноновское количество информации, связывающее две случайные величины. В рассматриваемом случае вследствие (9.4.21), (9.5.1) и соотношения
Ему, очевидно, соответствуют условные вероятности
вид которых напоминает выражение (9.1.2). Рассмотрим примеры, тесно связанные с примерами, которые были изучены в § 9.1 и 9.2. Пример 1. Пусть имеется бейесовская система, описанная в начале § 9.2. Для нее была подсчитана ценность хартлиевского количества информации. Найдем для сравнения ценность шенноновского количества информации. Запишем для данного примера уравнение (9.5.2), учитывая, что функция с
Это уравнение имеет решение, когда в качестве активной области выбрана вся область
не зависит от и и совпадает с суммой (9.1.10). Зависимость Равномерное распределение Ступенчатой линией (рис. 9.4) изображены те значения ценности хартлиевской информации, которые были найдены в § 9.2. Она лежит ниже основной кривой Для любого другого числа точек, располагающихся по кругу, ценность шенноновской информации может быть найдена совершенно аналогичным образом, причем будут наблюдаться монотонные зависимости без каких-либо нерегулярных скачков. В данном примере отчетливо видна разница между ценностью хартлиевского и шенноновского количества информации. Как видно из дальнейшего (гл. 11) в некоторых более сложных случаях это различие стирается, например, если рассматривать не пару описанных выше случайных величин х, и, а последовательности Пример 2. Рассмотрим пример, в котором имеется пространство из бесконечного числа точек. Пусть
и априорные вероятности
В отличие от предыдущего примера априорное распределение является неравномерным. Уравнение (9.5.2), записываемое в виде
имеет в качестве решения константу
где
Итак, в данном примере так же, как и в предыдущем, функция ценности (9.5.15) может быть подсчитана при помощи функции Вид вероятностей
это уравнение принимает вид
Данное уравнение допускает точное решение. Умножая обе части на
но
и, следовательно,
Совершая преобразование
и еще раз пользуясь формулой (9.5.17), получаем искомые вероятности
Теперь в соответствии с (9.4.21) нетрудно подсчитать и вероятности совместного распределения
что дает полное решение экстремальной задачи.
|
1 |
Оглавление
|