Главная > Теория информации
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

9.5. Решение вариационной задачи при некоторых дополнительных предположениях

1. Приведем решение третьей вариационной задачи в более явном виде для двух частных случаев. Обозначив

запишем уравнение (9.4.22) в форме

Предположим сначала, что это уравнение допускает решение относительно неизвестной функции как система линейных уравнений, или линейное интегральное уравнение. Другими словами, существует преобразование

обратное преобразованию

т. е.

Тогда из (9.5.2) будем иметь

и, если учесть (9.5.1),

Усреднение с весом дает выражение для потенциала

Используя (9.4.28), (9.4.29), отсюда получаем зависимость между в параметрической форме

В последней формуле вычитаемое выражение в правой части, очевидно, имеет смысл условной энтропии .

Если ввести функцию

и ее преобразование Лежандра

то полученные результаты (9.5.5), (9.5.6) можно записать в следующей компактной форме:

2. Сделаем теперь другое предположение, а именно предположим, что функция является постоянной в области Вынося за знак суммы, в этом случае из (9.5.2) будем иметь

Сумма в левой части равенства напоминает статистическую сумму (3.3.11), (3.6.2), вводимую при решении первой вариационной задачи. В принятых предположениях эта сумма не должна зависеть от и. По аналогии с (9.1.3) обозначим

Тогда и из (9.5.1) получаем

и (после усреднения)

Как указывалось в предыдущем параграфе, функция может быть получена преобразованием Лежандра

функции

Кроме вспомогательной функции удобно ввести ее преобразование Лежандра

в полной аналогии с формулами (9.1.4), (9.1.5). Тогда преобразование Лежандра (9.5.11) функции (9.5.12) запишется так:

т. е.

в силу (9.5.13). Формула (9.5.14) согласуется с (9.5.7), поскольку функция является обратной к функции Образуя функцию ценности информации

получаем формулу

вполне аналогичную формуле (9.1.6). Энтропия очевидно, имеет смысл условной энтропии

Таким образом, в рассматриваемом случае развитая теория ценности информации полностью подтверждает предварительные соображения, изложенные в § 9.1, в которых информация рассматривалась просто как разность двух энтропий, а не как шенноновское количество информации, связывающее две случайные величины. В рассматриваемом случае вследствие (9.4.21), (9.5.1) и соотношения экстремальное распределение имеет вид

Ему, очевидно, соответствуют условные вероятности

вид которых напоминает выражение (9.1.2).

Рассмотрим примеры, тесно связанные с примерами, которые были изучены в § 9.1 и 9.2.

Пример 1. Пусть имеется бейесовская система, описанная в начале § 9.2. Для нее была подсчитана ценность хартлиевского количества информации. Найдем для сравнения ценность шенноновского количества информации.

Запишем для данного примера уравнение (9.5.2), учитывая, что функция с зависит лишь от разности х — и. Это уравнение принимает вид

Это уравнение имеет решение, когда в качестве активной области выбрана вся область состоящая из восьми точек. Решение соответствует тривиальной, т. е. постоянной функции Статистическая сумма (9.5.8)

не зависит от и и совпадает с суммой (9.1.10). Зависимость представлена параметрически выражениями (9.1.11), (9.1.12). Она изображена на рис. 9.2.

Равномерное распределение соответствует энтропии Поэтому из формулы (9.5.14) имеем а функция ценности шенноновского количества информации имеет вид Эта функция представлена графически на рис. 9.4. Данная кривая является не чем иным, как перевернутой кривой рис. 9.2.

Ступенчатой линией (рис. 9.4) изображены те значения ценности хартлиевской информации, которые были найдены в § 9.2. Она лежит ниже основной кривой Так ценность одного бита информации, как видно из графика, равна 1,35, что превосходит значение 1, найденное по теории § 9.2. Аналогично ценность двух битов информации равна 1,78 и больше ранее найденного значения 1,5.

Для любого другого числа точек, располагающихся по кругу, ценность шенноновской информации может быть найдена совершенно аналогичным образом, причем будут наблюдаться монотонные зависимости без каких-либо нерегулярных скачков.

В данном примере отчетливо видна разница между ценностью хартлиевского и шенноновского количества информации. Как видно из дальнейшего (гл. 11) в некоторых более сложных случаях это различие стирается, например, если рассматривать не пару описанных выше случайных величин х, и, а последовательности подобных величин при больших

Пример 2. Рассмотрим пример, в котором имеется пространство из бесконечного числа точек.

Пусть могут принимать любые целые значения —1, 0, 1, 2, подобно переменной в примере 1 § 9.1. Возьмем простую функцию штрафов

и априорные вероятности

В отличие от предыдущего примера априорное распределение является неравномерным. Уравнение (9.5.2), записываемое в виде

имеет в качестве решения константу

где функция от , подсчитанная в (9.1.7). Исключением параметра из выражения (9.1.8), (9.1.9) может быть найдена зависимость Для вычисления функции ценности информации по формуле (9.5.15) остается найти энтропию априорного распределения (9.5.16). По аналогии с (9.1.9) нетрудно получить

Итак, в данном примере так же, как и в предыдущем, функция ценности (9.5.15) может быть подсчитана при помощи функции найденной в § 9.1 (пример 1) и изображенной на рис. 9.1.

Вид вероятностей а также экстремального распределения теперь находится более сложно, чем в предыдущем примере, когда распределение подобно было равномерным. Теперь для отыскания необходимо решить уравнение (9.4.23). Поскольку в силу (9.5.1), (9.5.16)

это уравнение принимает вид

Данное уравнение допускает точное решение. Умножая обе части на и суммируя по х, получаем

но

и, следовательно,

Совершая преобразование

и еще раз пользуясь формулой (9.5.17), получаем искомые вероятности

Теперь в соответствии с (9.4.21) нетрудно подсчитать и вероятности совместного распределения

что дает полное решение экстремальной задачи.

1
Оглавление
email@scask.ru