§ 3.2. Предел функции

Число  называется пределом функции  в точке , если она определена на некоторой окрестности , т. е. на некотором интервале , где  , за исключением, быть может, самой точки , и если для всякого   можно указать зависящее от него  такое, что для всех  , для которых , имеет место неравенство

.

Тот факт, что   есть предел  в точке , принято записывать следующим образом:

 или   .

Другое определение предела функции в точке может быть высказано в терминах пределов последовательностей.

Число  называется пределом функции в точке , если она определена на некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки , и если предел последовательности  существует и равен , какова бы ни была последовательность , сходящаяся к  и такая, что  для всех . Таким образом,

.

Здесь считается, как и в других подобных случаях, само собой разумеющимся, что сходящаяся к  переменная  пробегает значения, для которых  определена.

Высказанные определения эквивалентны. В самом деле, Высказанные определения эквивалентны. В самом деле, пусть функция  имеет предел в смысле первого определения, и пусть задана переменная , не равная ни при каком  числу  и стремящаяся к . Зададим  и подберем  так, как это сказано в первом определении. Затем подберем натуральное  так, чтобы  для  .  Но тогда

  для  ,

а это значит, что последовательность чисел   стремится к , и так как это свойство верно для любой сходящейся к  последовательности  , лишь бы  и все  принадлежали к области определения функции, то доказано, что из первого определения предела следует второе.

Наоборот, пусть функция  имеет предел в смысле второго определения. Допустим, что при этом она не имеет предела в смысле первого определения. Это значит, что существует хотя бы одно , которое мы обозначим через , для которого нельзя подобрать нужное , т. е. для любого  среди , удовлетворяющих соотношениям  , должно найтись хотя бы одно   такое, что для него .

В качестве  мы берем все числа вида  и для каждого из них найдем точку  , для которой

и

.

  Из этих соотношений видно, что , в то время как  заведомо не стремится к числу . Таким образом, допущение, что из второго определения предела не следует первое, приводит к противоречию.

Эквивалентность двух определений доказана.

Выражение предел функции в точке  часто заменяют выражением предел функции при , стремящемся к   или, короче, предел функции при . Если угодно, это выражение больше соответствует духу понятия предела потому, что выражение  говорит о поведении функции в малой окрестности точки , из которой выбрасывается точка . Оно говорит о том, что если  приближается к  по любому закону, оставаясь не равным , то соответствующее значение   в свою очередь приближается к , т. е. делается как угодно близким к .

П р и м е р  1. Рассмотрим функцию . Она определена для всех . Попробуем найти ее предел при . Для любого  , а так как при определении предела при  совсем не принимаются во внимание значения  в точке , то

.

Это равенство пока написано в том смысле, что если один из пределов существует, то существует и второй и равен ему. Таким образом, вместо того чтобы вычислять предел более сложной функции , достаточно вычислить предел более простой функции . Этот последний при , очевидно, равен 4. Ведь если подставить в  вместо  произвольную переменную , стремящуюся к 2, то независимо от способа стремления ее к 2

.

Вычисления, связанные с нахождением данного предела, обычно располагают следующим образом:

.

Подчеркнем, что функции  и   являются разными функциями. Первая из них определена для , в то время как вторая определена для всех . Однако, при вычислении предела функций при  нас совершенно не интересует, определены или не определены эти функции в самой точке , и так как  для , то

.

П р и м е р  2. Очевидно, что , потому что, если   то . Этот факт можно доказать и на языке  и . Определим какой-либо интервал, содержащий точку 1, например . Для любого , принадлежащего ему, очевидно, выполняется неравенство

.

Зададим теперь произвольное  и положим . Тогда для всех , удовлетворяющих неравенству , будет иметь место соотношение

.

П р и м е р  3. Функция  определена для всех значений  и является нечетной (график ее для  изображен на рис. 14).

Рис. 14

Она определена, таким образом, в окрестности точки , за  исключением самой точки  . Эта функция не имеет предела при , потому что последовательность отличных от нуля значений  стремится к нулю и то же время

не стремится при   ни к какому пределу.

Введем еще следующее определение. Будем писать

и говорить, что число  есть предел функции  при , стремящимся к бесконечности, если  определена для всех , удовлетворяющих неравенству  при некотором , и для любого  можно найти число  такое, что  для всех , удовлетворяющих неравенству .

Можно доказать, что это определение эквивалентно следующему.

Число   есть предел функции  при , если функция  определена для всех  с  при некотором   и

для любой сходящейся к  последовательности .

Доказательство эквивалентности этих двух определений проводится по той же схеме, что и в разобранном выше случае предела   в конечной точке .

Вообще, многие свойства пределов  при , где  - конечное число, и при  являются аналогичными. Можно изложить эти свойства единым образом, так что изложение будет одновременно относиться к случаю , где  - конечное число, так и к случаю . Для этого под буквой  надо понимать либо число (конечное), либо  символ . Если  есть число, то под окрестностью точки  понимается любой интервал , содержащий в себе точку . Таким образом, окрестность (конечной) точки  есть множество всех точек ,  удовлетворяющих неравенствам . Если же  (или , или ), то под окрестностью  мы условимся понимать множество всех , удовлетворяющих неравенству

.

Мы будем писать

,

где  может быть конечным числом или   (или , или  ), если функция  определена на некоторой окрестности  за  исключением, быть может, самой точки  (эта оговорка нужна только в случае конечной точки ), и если для любого  найдется такая окрестность точки , что для всех , принадлежащих к ней и отличных от , имеет место неравенство

.

Это определение объединяет в себе, очевидно, оба разобранных выше случая предела : когда  стремится к конечному числу  и когда   стремится к , , .

Функция  , для которой , называется бесконечно малой при .

Приступим к изложению свойств функции , имеющей пределы при , где  есть число или , , . Условимся произвольную окрестность  обозначать символом  . Легко проверить, что пересечение двух окрестностей  и  есть снова некоторая окрестность .

Т е о р е м а  1. Если , где  - конечное число, то на некоторой окрестности  функция   ограничена, т. е. существует положительное число  такое, что

 для всех ,   .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условия теоремы следует существование окрестности , такой что

.

Отсюда для указанных

,

где надо считать . Теорема доказана.

Т е о р е м а  2. Если  и  - конечное число, то существует окрестность  такая, что

.

 Более того, для указанных

,

и

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условия теоремы следует существование для  окрестности   такой, что

,

откуда  для указанных . Первое из этих неравенств можно заменить следующими:

.

При   отсюда следует

,

а при    следует

,

что и требовалось доказать.

Т е о р е м а  3. Если

,

и на некоторой окрестности , ,

,

то .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть , ; тогда для достаточно большого  имеет место неравенство

и после перехода к пределу неравенство .

Т е о р е м а  4. Если

                              (1)

и на некоторой окрестности , ,

,                                          (2)            

то

.                                            (3)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ; тогда при достаточно большом   для

и в силу (1) существует предел , равный , а так как  есть произвольная сходящаяся к  последовательность, то имеет место (3).

Т е о р е м а   5 (к р и т е р и й   К о ш и   с у щ е с т в о в а н и я    п р е д е л а). Для того чтобы существовал предел (конечный) , необходимо и достаточно, чтобы функция  была определена в окрестности , за исключением, быть может, самой точки , и для всякого  существовала такая окрестность , что, каковы бы ни были точки ,

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть , где  - конечное число; тогда существует окрестность , где  определена, за исключением, быть может, самой точки . Кроме того, для любого  найдется такая окрестность , что если  , то . Пусть  и ; тогда

,

и мы получили, что условие теоремы необходимо.

Докажем достаточность этого условия. Пусть функция  определена в некоторой окрестности , за исключением, быть может, самой точки , и пусть для любого  можно указать окрестность  такую, что  для всех , . Зададим произвольную последовательность ,  , стремящуюся к . Тогда, согласно критерию Коши, для последовательности, стремящейся к пределу, найдется число  такое, что для   будет  . Но тогда

,

и последовательность  удовлетворяет критерию Коши и, следовательно, имеет предел.

Мы доказали следующее свойство рассматриваемой функции : для любой сходящейся к  последовательности чисел   существует . Из этого свойства автоматически следует, что пределы , соответствующие разным сходящимся к  последовательностям, равны между собой. Но тогда существует . В самом деле, пусть , ;  . Тогда по доказанному существуют числа   и  такие, что  и . Составим новую последовательность: . Она сходится к числу .  По доказанному выше,  должна сходиться к некоторому числу и соответствующая последовательность .  Но это возможно только если . Таким образом,  . Теорема доказана.

Т е о р е м а  6. Пусть

,

где  и  - конечные числа. Тогда

и при условии, что ,

.

Докажем для примера второе равенство. Пусть  ,   ; тогда

,

но так как предел произведения двух переменных, пробегающих последовательности, равен произведению их пределов, то

.

Это равенство доказано для любой переменной , , поэтому .

По определению , если функция  определена на некоторой окрестности , за исключением, быть может, самой точки , и если для всякого положительного числа  найдется такая окрестность  точки , что

     .

Функцию, для которой , называют бесконечно большой при .

Если  и в некоторой окрестности точки  функция  (соответственно ), то еще пишут  (соответственно ).

Легко доказать следующие теоремы.

Т е о р е м а  7. Если функция  удовлетворяет на некоторой окрестности  неравенству

,

а для функции  имеет место

,

то

.

Т е о р е м а  8.  Если , , то

.

С л е д с т в и е. Если , то

,

и если ,  то

.

Можно еще определить предел функции   в точке  (конечной) справа (слева).

По определению число  называется пределом функции  в точке  справа (слева), если она определена на некотором полуинтервале  () и для нее существует

   (соответственно )

для любой указанной последовательности .

Предел справа (слева) функции   в точке  принято обозначать так:

,                                        (4)

.                                        (5)

Если  определена на интервале  , то в точке  может иметь смысл только число , а в точке  - только число .

З а м е ч а н и е. Равенства

                                     (6)

эквивалентны существованию предела

.                                          (7)

В самом деле, (6) можно выразить так:  ; . Но это можно выразить более кратко: , что эквивалентно (7).