ГЛАВА VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

§ 19. Числовые последовательности

193. Определение последовательности.

Пусть каждому натуральному числу поставлено в соответствие определенное действительное число: числу 1 соответствует число числу 2 — число , числу 3 — число числу — число и т. д.

Тогда говорят, что задана числовая последовательность, и пишут: Иначе можно записать . Числа называются членами числовой последовательности: первый член, — второй член, член последовательности.

Пример . Эта последовательность построена следующим образом: каждому натуральному числу соответствует его квадрат. Здесь .

Пример 2. Для любой бесконечной десятичной дроби можно построить последовательность ее десятичных приближений по недостатку или по избытку. Например, для числа последовательность десятичных приближений по недостатку имеет вид:

194. Способы задания последовательности.

Имеется три основных способа задания последовательности.

1. Аналитический — последовательность задается формулой члена. Например, формулой задается последовательность у которой

т. е. последовательность

2. Рекуррентный — любой член последовательности, начиная с некоторого, выражается через предшествующие члены. При в том способе задания последовательности указывают ее первый член (или несколько начальных членов) и формулу, позволяющую определить любой член последовательности по известным предшествующим членам.

Пример,

Имеем

В итоге получаем последовательность

Каждый ее член, кроме первых двух, равен сумме двух предшествующих ему членов.

3. Словесный — задание последовательности описанием. Такова, например, последовательность десятичных приближений по недостатку числа (см. п. 193).

195. Возрастание и убывание последовательности.

Последовательность называется возрастающей, если каждый ее

член меньше следующего за ним, т. е. если для любого п. Последовательность называется убывающей, если каждый ее член больше следующего за ним, т. е. если для любого .

Рассмотрим примеры:

1) - возрастающая последовательность.

2) - возрастающая последовательность.

3) - возрастающая последовательность.

4) - убывающая последовательность.

5) - убывающая последовательность.

6) - эта последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей.

7) - здесь мы имеем постоянную или стационарную последовательность.

196. Определение арифметической прогрессии.

Последовательность каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называется арифметической прогрессией. Число d — разность прогрессии. Таким образом, арифметическая прогрессия есть последовательность, заданная рекуррентно (см. п. 104) равенством . Например, и т. д.

При арифметическая прогрессия возрастает, при убывает.

Пример 1. Последовательность арифметическая прогрессия, у которой

Пример 2. Пусть даны Этими условиями задается арифметическая прогрессия, у которой

Получаем арифметическую прогрессию

Пример 3. Постоянная последовательность является арифметической прогрессией, у которой

Иногда рассматривают не всю последовательность, являющуюся арифметической прогрессией, а лишь ее первые несколько членов. В этом случае говорят о конечной арифметической прогрессии.

Для указания того, что последовательность является арифметической прогрессией, иногда используется обозначение

197. Свойства арифметической прогрессии

1°. Формула члена арифметической прогрессии:

2°. Формулы суммы первых членов арифметической прогрессии:

Здесь

Характеристическое свойство арифметической прогрессии. последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной арифметической прогрессии), равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов:

Пример 1. Бегун за первую минуту бега пробежал , а в каждую следующую минуту пробегал на меньше, чем в предыдущую. Какой путь пробежал он

Решение. За первую минуту бегун пробежал за вторую за третью и т. д. Числа образуют арифметическую прогрессию, у которой Путь за т. е. за 60 мин, равен сумме первых 60 членов прогрессии. Применив формулу (2), получим:

Итак, за бегун пробежит 15 км 150 м.

Пример 2. При делении члена арифметической прогрессии на ее 3-й член в частном получается 3, а при делении члене на 7-й член в частном получается 2 и в остатке 8. Найти 20-й член прогрессии.

Решение. Из условия следует, что (см. п. 3). По формуле члена имеем

и приходим к системе двух уравнений с двумя переменными

Решая эту систему, получаем:

откуда Зная и d, нетрудно найти его:

198. Определение геометрической прогрессии.

Последовательность первый член которой отличен от нуля и каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же отличное от нуля число , называется геометрической прогрессией. Число q — знаменатель прогрессии. Таким образом, геометрическая прогрессия есть последовательность, заданная рекуррентно (см. п. 193) равенством где Например, .

Пример 1. Последовательность 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... - это геометрическая прогрессия, у которой .

Пример 2. Последовательность — это геометрическая прогрессия, у которой

Пример 3. Пусть даны . Этими условиями задается геометрическая прогрессия, у которой . Получаем геометрическую прогрессию

Пример 4. Постоянная последовательность является геометрической прогрессией, у которой

Иногда рассматривают не всю последовательность, являющуюся геометрической прогрессией, а лишь ее первые несколько членов. В этом случае говорят о конечной геометрической прогрессии.

Для указания того, что последовательность является геометрической прогрессией, иногда используется обозначение

199. Свойства геометрической прогрессии.

1°. Формула члена геометрической прогрессии:

2°. Формулы суммы первых членов геометрической прогрессии:

Здесь если то

3°. Характеристическое свойство геометрической прогрессии: последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной геометрической прогрессии), связан с предыдущим и последующим членами формулой

Пример 1. Найти 8-й член геометрической прогрессии, у которой

Решение. Так как то получаем или

С другой стороны, по свойству 2° откуда находим:

Но выше). Подставив это выражение в равенство (1), получим:

Зная найдем . Имеем:

Пример 2. Три числа образуют конечную геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 2, то новая тройка чисел будет представлять собой конечную арифметическую прогрессию. Если третье число этой новой тройки

увеличить на 9, то снова получится геометрическая прогрессия. Найти первую тройку чисел.

Решение. Обозначим искомые три числа

Используя обозначения для арифметической прогрессии и для геометрической прогрессии, запишем условие задачи следующим образом:

Воспользовавшись характеристическими свойствами арифметической (свойство 3°, п. 197) и геометрической (свойство 3°, п. 199) прогрессий, получим соответственно: ;

Так как :

Первое условие как тождественное равенство можно опустить. Мы приходим к системе даух уравнений с двумя переменными :

Имеем далее:

Выразив через q из второго уравнения системы: и подставив это выражение вместо в первое уравнение системы, получим откуда находим

Следовательно, при при Значит, условию задачи удовлетворяют две тройки чисел:

200. Понятие о пределе последовательности.

Число b называется пределом последовательности если, какое бы поло

жительное число ни взять (это число обычно обозначают с — греческая буква «эпсилон»), найдется номер N, начиная с которого (т. е. при ) отличие от b по модулю будет меньше , т. е.

Пишут: или Говорят, что последовательность сходится к b.

Геометрический смысл предела последовательности: если b — предел последовательности то, какую бы окрестность точки b ни выбрать, вся последовательность, начиная с некоторого номера N, будет изображаться точками, лежащими в этой окрестности (рис. 94); окрестность точки b — это интервал с центром в точке b.

Примеры. Рассмотрим последовательности:

1) Чем больше номер члена последовательности, тем меньше этот член отличается от числа 0. Эта последовательность сходится, предел ее равен 0, т. е.

2) . Члены этой последовательности по мере увеличения номера все меньше и меньше отличаются от числа 1. Эта последовательность сходится, причем

В самом деле, . Какое бы ни взять, найдется номер N, такой, что для всех выполняется неравенство Чтобы найти такое N, достаточно решить неравенство и взять в качестве N любое натуральное число, удовлетворяющее этому неравенству.

3) Эта последовательность сходится, ее предел равен 0, т. е.

4) Эта последовательность не сходится, не имеет предела.

5) Постоянная последовательность а, а, сходится к пределу а, т. е.

201. Вычисление пределов последовательностей.

Для вычисления пределов последовательностей используются следующие утверждения:

1) Последовательность сходится к числу 0 (см. пример 1 из п. 200):

2) Последовательность где сходится к числу 0 (см. пример 3 из п. 200, где

3) (см. пример 5 из п. 200).

4) Это утверждение носит название теоремы об арифметических операциях над пределами.

Пример 1. Вычислить

Решение. Так как то

Аналогично устанавливается, что для любого натурального

Пример 2. Вычислить

Решение. Разделим почленно и числитель, и знаменатель данной дроби на наивысшую (из имеющихся) степень переменной , т. е. на Получим:

Воспользовавшись теперь тем, что и теоремой об арифметических операциях пределами, получим:

202. Сумма бесконечной геометрической прогрессии при ...

Пусть бесконечная геометрическая прогрессия, у которой . Рассмотрим сумму первых ее членов: Имеем (см. п. 199):

Вычислим Имеем (см. п. 201):

Итак, для бесконечной геометрической прогрессии, у которой существует где

Этот предел называют суммой бесконечной геометрической прогрессии и обозначают

Пример. Сумма бесконечной геометрической прогрессии при равна 9, а сумма квадратов ее членов равна 40,6. Найти сумму первых 6 членов прогрессии.

Решение. Обозначим заданную прогрессию так:

По условию ее сумма равна 9, т. е. .

Рассмотрим последовательность Каждый ее член получается из предыдущего умножением на т. е. это геометрическая прогрессия у которой первый член равен а знаменатель Q равен . Так как т. е. , то сумма новой прогрессии равна По условию эта сумма равна 40,6.

Значит, в итоге мы приходим к системе двух уравнений с двумя переменными:

Выразив из первого уравнения и подставив результат во второе уравнение, получим откуда

Тогда Теперь можно найти сумму первых 6 членов прогрессии: