Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава 2. ВЗАИМНАЯ ИНФОРМАЦИЯ И ЕЕ СВОЙСТВАЭта глава носит вспомогательный характер. В ней определяется информация между сообщениями и ансамблями и изучаются ее свойства. Количество информации для дискретных ансамблей вводится с помощью понятия собственной информации, которое было определено в предыдущей главе. Количество информации для непрерывных ансамблей не может быть введено таким же образом, как для дискретных, поскольку для сообщений непрерывных ансамблей собственной информации не существует. Для того чтобы избежать трудностей, связанных с использованием понятий теории меры при описании количества информации в случае произвольных непрерывных ансамблей, мы ограничимся весьма частным с позиций современной теории вероятностей, но весьма типичным для практических приложений случаем, когда распределения вероятностей на непрерывных ансамблях задаются посредством функций плотностей вероятностей. Другой чертой изложения этой главы является двойственность, при которой по существу одни и те же. факты приходится давать в двух формулировках — отдельно для дискретного и непрерывного случаев. Эта черта — следствие традиционного для технических вузов изложения математического анализа, при котором в теории интеграла дается только интеграл Римана, а интегралы Стильтьеса и Лебега — Стильтьеса не определяются. В тех случаях, когда необходимо одновременно рассматривать дискретные и непрерывные ансамбли, используется техника обобщенных функций с помощью которой вводится понятие функции плотности вероятностей для дискретных случайных величин. § 2.1. Количество информации между дискретными ансамблямиПусть
Кроме того, для каждого из сообщений В соответствии с определением 1.3.1 для каждого сообщения
и условная собственная информация
Величины (2.1.2) и (2.1.3) могут принимать конечные и бесконечные значения, но для некоторых пар сообщений условная собственная информация может быть не определена. В последнем случае эта информация при необходимости доопределяется произвольным образом. Нетрудно показать, что способ доопределения 1 не влияет на величины средних количеств информации, т. е. на энтропии Определение 2.1.1. Количеством информации в сообщении
Замечание. Количество информации Так как для любых
то
или просто взаимной информацией между этими сообщениями. Формуле (2.1.4) можно придать симметричную форму:
Рассмотрим теперь ансамбль
— безусловные распределения вероятностей на парах
— безусловные распределения вероятностей на сообщениях
— условные распределения вероятностей на
— условные распределения вероятностей на сообщениях С помощью определения 2.1.1 может быть введена условная информация
С помощью того же определения может быть введена информация между парой сообщений
Мы хотим представить информацию между парой
Отсюда, а также из (2.1.12) и (2.1.13) следует, что
Эти последние соотношения называются двойством аддитивности взаимной информации. Не останавливаясь подробно, заметим, что аналогичным образом могут быть определены и другие количества информации, скажем Замечание. Количества информации В точности так же, как в случае собственной информации, взаимную информацию можно рассматривать как случайную величину на ансамбле и вводить для нее различные числовые характеристики, и, в частности, математическое ожидание. Пусть задан дискретный ансамбль Определение 2.1.2. Математическое ожидание случайной величины
Легко видеть, что величина математического ожидания не зависит от способа доопределения функции Предположим теперь, что зафиксировано некоторое сообщение Определение 2.1.3. Математическое ожидание случайной величины
Аналогичным образом определяется средняя взаимная информация между ансамблем У и сообщением
Средняя взаимная информация сообщений, вероятности которых равны нулю. Если для таких сообщений
Таким образом, среднкю взаимную информацию Поскольку взаимная информация между сообщениями была определена как разность собственных информаций (безусловной и условной), а математическое ожидание собственной информации является по определению энтропией ансамбля, то можно записать
Изучение средней взаимной информации между дискретными ансамблями мы начнем с установления простейших ее свойств. Теорема 2.1.1. Средняя взаимная информация между сообщением, вероятность которого отлична от нуля, и ансамблем, а также средняя взаимная информация между двумя ансамблями неотр ицательна. Доказательство. Покажем только, что
Последнее соотношение получается в результате применения неравенства для логарифма (1.3.7). Если Снова будем рассматривать ансамбль троек
Определение 2.1.4. Математическое ожидание случайной величины
Как и раньше, средняя взаимная информация Определение 2.1.5. Математическое ожидание случайной величины
Для ансамбля
Из свойства аддитивности (см. 2.1.15)) тогда следует, что
а из (2.1.20) — что
Одно из важнейших свойств средней взаимной информации состоит в том, что она не увеличивается при преобразованиях. Для того чтобы точно сформулировать и доказать это свойство, введем в рассмотрение некоторое преобразование средней взаимной информации
Поэтому средняя взаимная информация Теорема 2.1.2. Для любого отображения
причем равенство имеет место всегда, когда отображение обратимо, т. е. каждому элементу Доказательство. Рассмотрим множество
или
для всех
С другой стороны, в силу неотрицательности средней взаимной информации
что и доказывает (2.1.28). Равенство в (2.1.28) имеет место в том случае, когда
Условие (2.1.33) означает, что при выбранном сообщении Заметим, что в теореме 2.1.2 доказано нечто большее, чем утверждается. А именно, доказано, что неравенство (2.1.28) имеет место не только при детерминированных отображениях Свойство невозрастания информации при преобразованиях имеет следующее физическое толкование. Предположим, что имеются наблюдаемые события, образующие множество Очевидно, что теорема остается верной в том случае, когда преобразование осуществляется над ансамблем
Если оба отображения обратимы, то имеет место знак равенства.
|
1 |
Оглавление
|