Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава 2. ВЗАИМНАЯ ИНФОРМАЦИЯ И ЕЕ СВОЙСТВАЭта глава носит вспомогательный характер. В ней определяется информация между сообщениями и ансамблями и изучаются ее свойства. Количество информации для дискретных ансамблей вводится с помощью понятия собственной информации, которое было определено в предыдущей главе. Количество информации для непрерывных ансамблей не может быть введено таким же образом, как для дискретных, поскольку для сообщений непрерывных ансамблей собственной информации не существует. Для того чтобы избежать трудностей, связанных с использованием понятий теории меры при описании количества информации в случае произвольных непрерывных ансамблей, мы ограничимся весьма частным с позиций современной теории вероятностей, но весьма типичным для практических приложений случаем, когда распределения вероятностей на непрерывных ансамблях задаются посредством функций плотностей вероятностей. Другой чертой изложения этой главы является двойственность, при которой по существу одни и те же. факты приходится давать в двух формулировках — отдельно для дискретного и непрерывного случаев. Эта черта — следствие традиционного для технических вузов изложения математического анализа, при котором в теории интеграла дается только интеграл Римана, а интегралы Стильтьеса и Лебега — Стильтьеса не определяются. В тех случаях, когда необходимо одновременно рассматривать дискретные и непрерывные ансамбли, используется техника обобщенных функций с помощью которой вводится понятие функции плотности вероятностей для дискретных случайных величин. § 2.1. Количество информации между дискретными ансамблямиПусть
Кроме того, для каждого из сообщений В соответствии с определением 1.3.1 для каждого сообщения
и условная собственная информация
Величины (2.1.2) и (2.1.3) могут принимать конечные и бесконечные значения, но для некоторых пар сообщений условная собственная информация может быть не определена. В последнем случае эта информация при необходимости доопределяется произвольным образом. Нетрудно показать, что способ доопределения 1 не влияет на величины средних количеств информации, т. е. на энтропии Определение 2.1.1. Количеством информации в сообщении
Замечание. Количество информации Так как для любых
то
или просто взаимной информацией между этими сообщениями. Формуле (2.1.4) можно придать симметричную форму:
Рассмотрим теперь ансамбль
— безусловные распределения вероятностей на парах
— безусловные распределения вероятностей на сообщениях
— условные распределения вероятностей на
— условные распределения вероятностей на сообщениях С помощью определения 2.1.1 может быть введена условная информация
С помощью того же определения может быть введена информация между парой сообщений
Мы хотим представить информацию между парой
Отсюда, а также из (2.1.12) и (2.1.13) следует, что
Эти последние соотношения называются двойством аддитивности взаимной информации. Не останавливаясь подробно, заметим, что аналогичным образом могут быть определены и другие количества информации, скажем Замечание. Количества информации В точности так же, как в случае собственной информации, взаимную информацию можно рассматривать как случайную величину на ансамбле и вводить для нее различные числовые характеристики, и, в частности, математическое ожидание. Пусть задан дискретный ансамбль Определение 2.1.2. Математическое ожидание случайной величины
Легко видеть, что величина математического ожидания не зависит от способа доопределения функции Предположим теперь, что зафиксировано некоторое сообщение Определение 2.1.3. Математическое ожидание случайной величины
Аналогичным образом определяется средняя взаимная информация между ансамблем У и сообщением
Средняя взаимная информация сообщений, вероятности которых равны нулю. Если для таких сообщений
Таким образом, среднкю взаимную информацию Поскольку взаимная информация между сообщениями была определена как разность собственных информаций (безусловной и условной), а математическое ожидание собственной информации является по определению энтропией ансамбля, то можно записать
Изучение средней взаимной информации между дискретными ансамблями мы начнем с установления простейших ее свойств. Теорема 2.1.1. Средняя взаимная информация между сообщением, вероятность которого отлична от нуля, и ансамблем, а также средняя взаимная информация между двумя ансамблями неотр ицательна. Доказательство. Покажем только, что
Последнее соотношение получается в результате применения неравенства для логарифма (1.3.7). Если Снова будем рассматривать ансамбль троек
Определение 2.1.4. Математическое ожидание случайной величины
Как и раньше, средняя взаимная информация Определение 2.1.5. Математическое ожидание случайной величины
Для ансамбля
Из свойства аддитивности (см. 2.1.15)) тогда следует, что
а из (2.1.20) — что
Одно из важнейших свойств средней взаимной информации состоит в том, что она не увеличивается при преобразованиях. Для того чтобы точно сформулировать и доказать это свойство, введем в рассмотрение некоторое преобразование средней взаимной информации
Поэтому средняя взаимная информация Теорема 2.1.2. Для любого отображения
причем равенство имеет место всегда, когда отображение обратимо, т. е. каждому элементу Доказательство. Рассмотрим множество
или
для всех
С другой стороны, в силу неотрицательности средней взаимной информации
что и доказывает (2.1.28). Равенство в (2.1.28) имеет место в том случае, когда
Условие (2.1.33) означает, что при выбранном сообщении Заметим, что в теореме 2.1.2 доказано нечто большее, чем утверждается. А именно, доказано, что неравенство (2.1.28) имеет место не только при детерминированных отображениях Свойство невозрастания информации при преобразованиях имеет следующее физическое толкование. Предположим, что имеются наблюдаемые события, образующие множество Очевидно, что теорема остается верной в том случае, когда преобразование осуществляется над ансамблем
Если оба отображения обратимы, то имеет место знак равенства.
|
1 |
Оглавление
|