Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
3.12.4. Свойства функции ... и построение экспоненты случайного кодирования.Ниже мы исследуем функцию Предположим, что на множестве X заданы два распределения вероятностей Определение 3.12.1. Величина
называется энтропией распределения Лемма 3.12.1. Для произвольных распределений Доказательство. Используя неравенство
Так как в неравенстве для логарифма равенство имеет место тогда и только тогда, когда аргумент логарифма равен единице, то последнее неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда Помимо энтропии распределения рассматривается то или другое распределение вероятностей, то подстрочный индекс иногда опускается, например:
Во всех таких случаях лемма 3.12.1 остается справедливой. Пусть теперь
В следующей теореме устанавливается связь между фукциями Теорема 3.12.3. Пусть фиксированы дискретный канал без памяти
где максимум разыскивается по всем таким стохастическим матрицам V, что 2. Пусть
где
3. Обозначим через
где 4. В обозначениях
Доказательство. Найдем частную производную
В соответствии с теоремой Куна-Таккера (см. параграф 2.8) необходимые условия достижения максимума в (3.12.20) состоят в том, чтобы при каждом
где
для максимизирующих значений
Если Заметим далее, что выражение под знаком логарифма в правой части (3.12.19) при Покажем, что решением является система величин
и что при этом имеет место соотношение (3.12.20). Действительно, подстановка (3.12.28) в (3.12.19) дает
Подставляя теперь (3.12.28) в (3.12.22) и (3.12.23), получим
Таким образом, величины (3.12.28) удовлетворяют системе уравнений (3.12.21) и, следовательно, максимизируют правую часть соотношения (3.12.20), что доказывает утверждение 1. Для доказательства утверждения 3 найдем производную
где
Кроме того,
что и завершает доказательство утверждения 3. Для доказательства утверждения 4 найдем вторую производную
Если теперь положить Следствие 3.12.1. Пусть распределение вероятностей 1. 2.
Доказательство. При 3.12.1 вытекает, что
Так как согласно (3.12.24) производная С помощью следствия
Дифференцируя по и приравнивая производную к нулю, получим следующее уравнение для максимизирующего значения
Используя свойство 3 следствия, получим, что любое неотрицательное решение этого уравнения максимизирует (3.12.29). Так как
Рис. 3.12.1. Функция Значение Уравнения
задают значения Метод построения функции Если выбрать распределение вероятностей Теперь можно дать общий метод построения функции
Следовательно, при изменении
Таким образом, параметр
Рис. 3.12.2. Функция При
Для каждого значения
Для всех Показатель экспоненты случайного кодирования,
где
Отыскание распределения вероятностей Если оптимизирующее распределение
|
1 |
Оглавление
|