5.5.2. Аппроксимация векторов, лежащих на поверхности n-мерной сферы.

Здесь мы хотим показать, что имеется конечное число векторов на поверхности -мерной сферы радиуса с помощью которых можно достаточно хорошо аппроксимировать любой вектор на этой поверхности. Достаточно хорошо аппроксимировать — значит обеспечить достаточно малое расстояние между каждым вектором, лежащим на сфере, и хотя бы одним из аппроксимирующих векторов.

Обозначим через -мерную сферу радиуса с центром в начале координат:

Лемма 5.5.1. В множестве -мерных векторов можно выбрать подмножество такое, что для каждого вектора из множества найдется такой вектор из подмножества что

При этом число элементов в множестве удовлетворяет неравенству

Доказательство. Заметим вначале, что

для любого вектора

Разобьем интервал на непересекающихся частей: Каждому вектору сопоставим вектор по следующему правилу:

В силу неравенства (5.5.11) такое сопоставление возможно. Каждая компонента вектора может принимать любое из значений. Поэтому количество различных векторов, которые можно образовать из этих значений, равно

Пусть множество всех таких векторов.

Существует, вообще говоря, не один вектор, которому сопоставляется данный вектор Обозначим через подмножество таких векторов» принадлежащих -мерной сфере которым сопоставляется один и тот же вектор Заметим, что некоторые из этих подмножеств будут пустыми. Например, вектору

соответствует пустое подмножество. Из каждого непустого подмножества произвольным образом выберем один вектор. Обозначим его через Пусть полученное таким образом множество векторов. Покажем, что для этого множества утверждение леммы выполняется.

Действительно, пусть Пусть, кроме того, вектор, выбранный из подмножества В и включенный в множество Тогда

Используя неравенство треугольника, получим

Из (5.5.15) следует, что

откуда вытекает неравенство Очевидно, что

Лемма доказана.