3.5.2. Вычисление информационной емкости дискретного канала без памяти.

Выше мы показали, что общая формула (3.4.3) для информационной емкости в случае дискретного канала без памяти упрощается и приводится к виду (3.5.2). Заметим, что формула (3.4.3) в общем случае не является вычислимой. Мы называем формулу вычислимой, если существует алгоритм, который позволяет вычислить задаваемое ею значение с произвольной, заданной наперед точностью, за конечное количество шагов. С точки зрения такого определения вычислимости формула (3.5.2) вычислима. Действительно, для вычисления ее значений необходимо найти максимум выпуклой функции от конечного числа аргументов. Алгоритмы для нахождения максимума выпуклой функции с заданной точностью для случая конечного числа аргументов хорошо известны.

В некоторых частных случаях удается получить явное выражение для информационной емкости. Один из таких случаев будет рассмотрен в следующем параграфе, а другой — в задаче 3.5.1. Однако получить простую формулу для информационной емкости произвольного канала без памяти не удается.

В этом пункте будет выведен итерационный алгоритм, позволяющий вычислять информационную емкость произвольного дискретного канала без памяти с произвольной, заданной наперед точностью. Этот алгоритм существенно проще стандартных

алгоритмов. Упрощение достигается за счет использования некоторых специфических свойств взаимной информации.

Начнем с вывода необходимых и достаточных условий, которым должно удовлетворять распределение вероятностей, максимизирующее правую часть формулы (3.5.2).

Теорема Пусть фиксирован дискретный канал без памяти с переходными вероятностями Необходимые и достаточные условия, которым должно удовлетворять распределение вероятностей на входе канала, максимизирующее среднюю взаимную информацию

где С — постоянная, определяемая из условия и

Более того, С равно информационной емкости канала.

Доказательство. Требуется найти максимум функции

по всем распределениям вероятностей Так как средняя взаимна) информация является выпуклой вверх функцией (см. § 2.5) и максимизация осуществляется в выпуклой области всех вероятностных векторов то необходимые и достаточные условия, которым должно удовлетворять максимизирующее распределение суть условия Куна-Таккера (см. § 2.8), которые можно записать следующим образом:

где X — неопределенный множитель Лагранжа, определяемый из условия

Зафиксируем сообщение и найдем частную производную

Подставляя (3.5.11) в (3.5.10) и обозначая через С, получим условия (3.5.8). Умножая обе части первого соотношения в (3.5.8) на и суммируя по всем получим в левой части информационную емкость канала, а в правой — число С. Теорема доказана.

В соответствии с теоремой 3.5.2 распределение вероятностей, максимизирующее среднюю взаимную информацию между входом и выходом канала, должно обладать тем свойством, что для каждого входного сообщения, появляющегося с ненулевой вероятностью, средняя взаимная информация между этим сообщением и выходом канала должна равняться одному и тому же числу. Необходимость этого условия интуитивно понятна. Действительно, если бы некоторое сообщение имело бы большую взаимную информацию с выходом канала, чем другое, то средняя взаимная информация могла быть увеличена за счет более частого использования входных сообщений с большей информацией

Перейдем теперь к построению итерационного алгоритма для вычисления информационной емкости. Заметим вначале, что функция может быть записана следующим образом:

где

Введем в рассмотрение следующую функцию:

где — стохастическая матрица с элементами такими, что для всех вероятностный вектор с элементами Нетрудно видеть,

что где элементы стохастической матрицы определяются соотношениями (3.5.13).

Лемма 3.5.1. Пусть переходные вероятности канала без памяти. Тогда имеют место следующие утверждения:

1) , где максимум в правой части разыскивается по всем стохастическим матрицам у и по всем вероятностным векторам

2) при любом фиксированном вероятностном векторе необходимые и достаточные условия того, чтобы матрица у максимизировала состоят в том, что

3) при любой фиксированной матрице такой, что если необходимые и достаточные условия того, чтобы вероятностный вектор максимизировал состоят в том, что

где

Доказательство. Для доказательства утверждения 1 достаточно показать, что для любого фиксированного вероятностного вектора выполняется равенство

Рассмотрим разность

где

Применяя неравенство из (3.5.18) получим

Равенство в неравенстве (3.5.19) имеет место в том и только том случае, когда при всех Отсюда следует равенство (3.5.17) и утверждения 1 и 2 леммы.

Для доказательства утверждения 3 воспользуемся теоремой Куна-Таккера. Вначале заметим, что при фиксированных матрицах функция определенная на множестве всех вероятностных векторов, является выпуклой вверх (см. задачу 2.5.9). Следовательно, условия Куна-Таккера являются необходимыми и достаточными для того, чтобы распределение вероятностей максимизировало Исходя из следствия условия могут быть записаны следующим образом:

где множитель Лагранжа, определяемый из условия Выполняя дифференцирование, получим для

Подставляя затем (3.5.21) в (3.5.20) и обозначая через будем иметь

Нетрудно проверить, что при

соотношения (3.5.22) будут выполняться со знаком равенства для всех Из условия находим, что

Лемма доказана.

Введем следующие обозначения:

Из леммы 3.5.1 следует, что

Пусть произвольное распределение вероятностей на соответствующий вероятностный вектор, пусть у — стохастическая матрица с элементами определяемыми из соотношения (3.5.15), в котором заменено на Обозначим через вектор вероятностей, на котором достигается максимум в формуле (3.5.23), и пусть стохастическая матрица, на которой достигается максимум в формуле (3.5.24). В общем случае к обозначим через вероятностный вектор, на котором достигается и через — стохастическую матрицу, на которой достигается Из леммы 3.5.1 следует, что вектор и матрица могут быть получены итеративно из исходного распределения с помощью соотношений (3.5.15), (3.5.16).

Теперь покажем, что этот итеративный процесс сходится.

Теорема 3.5.3. Для произвольного дискретного канала без памяти, задаваемого переходными вероятностями и произвольного начального распределения вероятностей на входе, задаваемого вектором со строго положительными компонентами, имеет место равенство

где предел вычисляется по последовательности получаемой итеративно с помощью соотношений (3.5.15), (3.5.16).

Доказательство. Рассмотрим последовательность пар

Так как пара в этой последовательности, получена в результате максимизации либо функции по либо функции по то элементы этой последовательности не убывают с ростом номера пары Таким образом, в силу ограниченности величины для любого и неубывания членов последовательности предел, написанный в правой части (3.5.25), существует.

Заметим далее, что равенство

может выполняться в том и только том случае, когда удовлетворяет условиям (3.5.15) при удовлетворяет условиям (3.5.16) при Если при этом (3.5.15) подставить в (3.5.16), то получим, что будет удовлетворять условиям теоремы 3.5.2 и, следовательно,

В общем случае, однако, равенство (3.5.26) может не выполняться ни при каких конечных Из существования предела в (3.5.25) и непрерывности ! как функции от следует, что существует предельное распределение которое удовлетворяет условиям теоремы 3.5.2. Поэтому предел последовательности (3.5.25) равен информационной емкости канала. Теорема доказана.

Из доказанной теоремы следует, что фиксируя произвольным образом начальное распределение, задаваемое вектором со строго положительными компонентами, для любого можно найти такое что При этом распределение находится итеративно с помощью формул (3.2.15), (3.2.16). Для завершения построения алгоритма следует указать правило остановки. Это правило основано на следующей лемме.

Лемма 3.5.2. Определим число следующим соотношением:

Для произвольного дискретного канала без памяти и произвольного распределения вероятностей на его входе имеет место неравенство

Доказательство. Пусть вероятностный вектор, на котором достигается информационная емкость С канала, и Из выпуклости средней взаимной информации относительно распределений вероятностей на входе канала следует, что

или

где использован тот факт, что Пусть

Из этих определений можно записать

Из (3.5.30) и (3.5.31) следует, что для всех Подставляя (3.5.33) в (3.5.29) и переходя к пределу при получим, что

Найдем частные производные для всех х

Подстановка (3.5.35) в (3.5.34) дает

Учитывая теперь, что по условию выбора распределения вероятностей имеет место равенство из (3.5.36) получим

что совпадает с (3.5.28). Лемма доказана.

Ниже формулируется алгоритм вычислений, который для любого дискретного канала без памяти и для любого позволяет вычислить значение С такое, что

Алгоритм. Пусть положить для всех Для выполнять:

Шаг к. По с помощью (3.5.15) вычислить для всех По с помощью (3.5.16) вычислить для всех По помощью (3.5.27) и (3.5.9) вычислить то перейти к шагу если то положить Конец.

Нетрудно видеть, что этот алгоритм заканчивается после некоторого конечного числа шагов и что полученное в результате его работы число С удовлетворяет неравенству Действительно, если при некотором

то из леммы 3.5.2 и определения информационной емкости в соответствии с формулой (3.5.2) следует, что

Тот факт, что неравенство (3.5.37) имеет место при некотором конечном к, следует из теоремы 3.5.3 и того, что для распределения, удовлетворяющего условиям теоремы 3.5.2, в соотношении (3.5.28) имеет место знак равенства.