Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 3.5.2. Вычисление информационной емкости дискретного канала без памяти.Выше мы показали, что общая формула (3.4.3) для информационной емкости в случае дискретного канала без памяти упрощается и приводится к виду (3.5.2). Заметим, что формула (3.4.3) в общем случае не является вычислимой. Мы называем формулу вычислимой, если существует алгоритм, который позволяет вычислить задаваемое ею значение с произвольной, заданной наперед точностью, за конечное количество шагов. С точки зрения такого определения вычислимости формула (3.5.2) вычислима. Действительно, для вычисления ее значений необходимо найти максимум выпуклой функции от конечного числа аргументов. Алгоритмы для нахождения максимума выпуклой функции с заданной точностью для случая конечного числа аргументов хорошо известны. В некоторых частных случаях удается получить явное выражение для информационной емкости. Один из таких случаев будет рассмотрен в следующем параграфе, а другой — в задаче 3.5.1. Однако получить простую формулу для информационной емкости произвольного канала без памяти не удается. В этом пункте будет выведен итерационный алгоритм, позволяющий вычислять информационную емкость произвольного дискретного канала без памяти с произвольной, заданной наперед точностью. Этот алгоритм существенно проще стандартных алгоритмов. Упрощение достигается за счет использования некоторых специфических свойств взаимной информации. Начнем с вывода необходимых и достаточных условий, которым должно удовлетворять распределение вероятностей, максимизирующее правую часть формулы (3.5.2). Теорема
где С — постоянная, определяемая из условия
Более того, С равно информационной емкости канала. Доказательство. Требуется найти максимум функции
по всем распределениям вероятностей
где X — неопределенный множитель Лагранжа, определяемый из условия Зафиксируем сообщение
Подставляя (3.5.11) в (3.5.10) и обозначая В соответствии с теоремой 3.5.2 распределение вероятностей, максимизирующее среднюю взаимную информацию между входом и выходом канала, должно обладать тем свойством, что для каждого входного сообщения, появляющегося с ненулевой вероятностью, средняя взаимная информация между этим сообщением и выходом канала должна равняться одному и тому же числу. Необходимость этого условия интуитивно понятна. Действительно, если бы некоторое сообщение имело бы большую взаимную информацию с выходом канала, чем другое, то средняя взаимная информация могла быть увеличена за счет более частого использования входных сообщений с большей информацией Перейдем теперь к построению итерационного алгоритма для вычисления информационной емкости. Заметим вначале, что функция
где
Введем в рассмотрение следующую функцию:
где что Лемма 3.5.1. Пусть 1) 2) при любом фиксированном вероятностном векторе
3) при любой фиксированной матрице
где Доказательство. Для доказательства утверждения 1 достаточно показать, что для любого фиксированного вероятностного вектора
Рассмотрим разность
где
Применяя неравенство
Равенство в неравенстве (3.5.19) имеет место в том и только том случае, когда Для доказательства утверждения 3 воспользуемся теоремой Куна-Таккера. Вначале заметим, что при фиксированных матрицах
где
Подставляя затем (3.5.21) в (3.5.20) и обозначая
Нетрудно проверить, что при
соотношения (3.5.22) будут выполняться со знаком равенства для всех
Лемма доказана. Введем следующие обозначения:
Из леммы 3.5.1 следует, что Пусть Теперь покажем, что этот итеративный процесс сходится. Теорема 3.5.3. Для произвольного дискретного канала без памяти, задаваемого переходными вероятностями
где предел вычисляется по последовательности Доказательство. Рассмотрим последовательность пар
Так как Заметим далее, что равенство
может выполняться в том и только том случае, когда В общем случае, однако, равенство (3.5.26) может не выполняться ни при каких конечных Из доказанной теоремы следует, что фиксируя произвольным образом начальное распределение, задаваемое вектором Лемма 3.5.2. Определим число
Для произвольного дискретного канала без памяти и произвольного распределения вероятностей
Доказательство. Пусть
или
где использован тот факт, что
Из этих определений можно записать
Из (3.5.30) и (3.5.31) следует, что
Найдем частные производные
Подстановка (3.5.35) в (3.5.34) дает
Учитывая теперь, что по условию выбора распределения вероятностей
что совпадает с (3.5.28). Лемма доказана. Ниже формулируется алгоритм вычислений, который для любого дискретного канала без памяти и для любого Алгоритм. Пусть Шаг к. По Нетрудно видеть, что этот алгоритм заканчивается после некоторого конечного числа шагов и что полученное в результате его работы число С удовлетворяет неравенству
то из леммы 3.5.2 и определения информационной емкости в соответствии с формулой (3.5.2) следует, что
Тот факт, что неравенство (3.5.37) имеет место при некотором конечном к, следует из теоремы 3.5.3 и того, что для распределения, удовлетворяющего условиям теоремы 3.5.2, в соотношении (3.5.28) имеет место знак равенства.
|
1 |
Оглавление
|