Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
3.5.2. Вычисление информационной емкости дискретного канала без памяти.Выше мы показали, что общая формула (3.4.3) для информационной емкости в случае дискретного канала без памяти упрощается и приводится к виду (3.5.2). Заметим, что формула (3.4.3) в общем случае не является вычислимой. Мы называем формулу вычислимой, если существует алгоритм, который позволяет вычислить задаваемое ею значение с произвольной, заданной наперед точностью, за конечное количество шагов. С точки зрения такого определения вычислимости формула (3.5.2) вычислима. Действительно, для вычисления ее значений необходимо найти максимум выпуклой функции от конечного числа аргументов. Алгоритмы для нахождения максимума выпуклой функции с заданной точностью для случая конечного числа аргументов хорошо известны. В некоторых частных случаях удается получить явное выражение для информационной емкости. Один из таких случаев будет рассмотрен в следующем параграфе, а другой — в задаче 3.5.1. Однако получить простую формулу для информационной емкости произвольного канала без памяти не удается. В этом пункте будет выведен итерационный алгоритм, позволяющий вычислять информационную емкость произвольного дискретного канала без памяти с произвольной, заданной наперед точностью. Этот алгоритм существенно проще стандартных алгоритмов. Упрощение достигается за счет использования некоторых специфических свойств взаимной информации. Начнем с вывода необходимых и достаточных условий, которым должно удовлетворять распределение вероятностей, максимизирующее правую часть формулы (3.5.2). Теорема
где С — постоянная, определяемая из условия
Более того, С равно информационной емкости канала. Доказательство. Требуется найти максимум функции
по всем распределениям вероятностей
где X — неопределенный множитель Лагранжа, определяемый из условия Зафиксируем сообщение
Подставляя (3.5.11) в (3.5.10) и обозначая В соответствии с теоремой 3.5.2 распределение вероятностей, максимизирующее среднюю взаимную информацию между входом и выходом канала, должно обладать тем свойством, что для каждого входного сообщения, появляющегося с ненулевой вероятностью, средняя взаимная информация между этим сообщением и выходом канала должна равняться одному и тому же числу. Необходимость этого условия интуитивно понятна. Действительно, если бы некоторое сообщение имело бы большую взаимную информацию с выходом канала, чем другое, то средняя взаимная информация могла быть увеличена за счет более частого использования входных сообщений с большей информацией Перейдем теперь к построению итерационного алгоритма для вычисления информационной емкости. Заметим вначале, что функция
где
Введем в рассмотрение следующую функцию:
где что Лемма 3.5.1. Пусть 1) 2) при любом фиксированном вероятностном векторе
3) при любой фиксированной матрице
где Доказательство. Для доказательства утверждения 1 достаточно показать, что для любого фиксированного вероятностного вектора
Рассмотрим разность
где
Применяя неравенство
Равенство в неравенстве (3.5.19) имеет место в том и только том случае, когда Для доказательства утверждения 3 воспользуемся теоремой Куна-Таккера. Вначале заметим, что при фиксированных матрицах
где
Подставляя затем (3.5.21) в (3.5.20) и обозначая
Нетрудно проверить, что при
соотношения (3.5.22) будут выполняться со знаком равенства для всех
Лемма доказана. Введем следующие обозначения:
Из леммы 3.5.1 следует, что Пусть Теперь покажем, что этот итеративный процесс сходится. Теорема 3.5.3. Для произвольного дискретного канала без памяти, задаваемого переходными вероятностями
где предел вычисляется по последовательности Доказательство. Рассмотрим последовательность пар
Так как Заметим далее, что равенство
может выполняться в том и только том случае, когда В общем случае, однако, равенство (3.5.26) может не выполняться ни при каких конечных Из доказанной теоремы следует, что фиксируя произвольным образом начальное распределение, задаваемое вектором Лемма 3.5.2. Определим число
Для произвольного дискретного канала без памяти и произвольного распределения вероятностей
Доказательство. Пусть
или
где использован тот факт, что
Из этих определений можно записать
Из (3.5.30) и (3.5.31) следует, что
Найдем частные производные
Подстановка (3.5.35) в (3.5.34) дает
Учитывая теперь, что по условию выбора распределения вероятностей
что совпадает с (3.5.28). Лемма доказана. Ниже формулируется алгоритм вычислений, который для любого дискретного канала без памяти и для любого Алгоритм. Пусть Шаг к. По Нетрудно видеть, что этот алгоритм заканчивается после некоторого конечного числа шагов и что полученное в результате его работы число С удовлетворяет неравенству
то из леммы 3.5.2 и определения информационной емкости в соответствии с формулой (3.5.2) следует, что
Тот факт, что неравенство (3.5.37) имеет место при некотором конечном к, следует из теоремы 3.5.3 и того, что для распределения, удовлетворяющего условиям теоремы 3.5.2, в соотношении (3.5.28) имеет место знак равенства.
|
1 |
Оглавление
|