2.8.3. Достаточность условий Куна-Таккера для выпуклых функций.
Пусть 
- выпуклая вверх функция, определенная в некоторой выпуклой области пространства 
заданной с помощью ограничений 
где 
также выпуклые вверх функции. Тогда функция 
обладает тем свойством, что локальный ее максимум совпадает с глобальным. Мы покажем, что в этом случае необходимые условия максимума являются также достаточными.
Задача поиска максимума выпуклой вверх функции 
в выпуклой области пространства 
задаваемой 
выпуклыми вверх функциями, может быть сформулирована следующим образом:
при ограничениях
где 
выпуклые вверх функции.
Теорема 2.8.2. Предположим, что 
удовлетворяет условиям Куна-Таккера для задачи (2.8.15) при ограничениях (2.8.16). Тогда 
для любой точки 
удовлетворяющей ограничениям (2.8.16).
Доказательство. Так как ограничения — выпуклые вверх функции, то множество допустимых точек выпукло. Следовательно, все точки прямой, соединяющей 
допустимы, а вектор 
является допустимым направлением. По лемме 
Согласно теореме Куна—Таккера существуют числа 
такие, что 
и
Поэтому
и для направления 
имеет место неравенство 
В силу выпуклости функции 
из (2.8.6) имеем
Следовательно, 
для любой допустимой точки 
Теорема доказана.
