Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 5.7. Эпсилон-энтропия стационарного гауссовского процесса дискретного времениВ этом параграфе мы применим результаты предыдущего рассмотрения эпсилон-энтропии системы гауссовских случайных величин для вычисления эпсилон-энтропии стационарного гауссовского случайного процесса, дискретного по времени, или, что то же самое, эпсилон-энтропии стационарного дискретного по времени источника гауссовских сообщений. Рассмотрим источник Напомним, что эпсилон-энтропией стационарного источника относительно критерия качества
где
и
В дальнейшем будет рассматриваться только квадратический критерий качества Для каждого конечного
Таким образом, из (5.7.1) и теоремы 5.2.3 следует, что для вычисления эпсилон-энтропии стационарного источника надо перейти к пределам в соотношениях (5.7.4) по Введем понятие спектральной плотности мощности случайного процесса с дискретным временем. Пусть
Матрицы, элементы которых удовлетворяют свойству (5.7.5), называются теплицевыми. Пусть и В дальнейшем мы будем предполагать также, что
Можно показать, что в случае гауссовских процессов это предположение равносильно предположению об эргодичности. Рассмотрим ряд Фурье
Функция лишь таких источников, для которых
Отметим основные свойства спектральной плотности мощности случайного процесса. Из выражений (5.7.5) и (5.7.6) следует, что
Из (5.7.7) следует, что
Можно показать также, что
Так как Ко есть дисперсия (средняя мощность) случайного процесса на выходе источника, то из (5.7.9) следует, что функция Вывод формулы для Лемма 5.7.1. Пусть
где Используя утверждение леммы 5.7.1, легко найти пределы соотношений (5.7.4) и тем самым получить формулу для вычисления Теорема 5.7.1. Для гауссовского стационарного случайного процесса с дискретным временем и спектральной плотностью мощности
Доказательство. Введем обозначения
Рассмотрим две функции
Пусть В силу непрерывности
Так как - 0 при 6 О, то мы показали, что для любого числа
Утверждение теоремы вытекает теперь из того, что значение
Рис. 5.7.1. Интерпретация уравнений (5.7.10). Второму соотношению в (5.7.10) можно придать геометрическую трактовку с помощью рассуждения о «разливании воды». Представим себе сосуд единичной длины с крышкой, форма которой задается спектральной плотностью мощности Тогда жидкость объема
|
1 |
Оглавление
|