Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 4.4. Прямая теорема кодирования для непрерывных каналов с аддитивным белым гауссовским шумомВ этом параграфе мы докажем прямую теорему кодирования для каналов, указанных в заголовке, при ограничениях на среднюю мощность и полосу частот сигналов на входе. Частным случаем этой теоремы является случай отсутствия ограничений на полосу частот, при котором Еходные сигналы могут иметь какие угодно высокие частотные составляющие. Теорема 4.4.1. Пусть
и на полосу частот
причем максимальная вероятность ошибки Доказательство. Вначале мы сведем задачу передачи сообщений по непрерывному каналу с непрерывным временем с помощью кода, удовлетворяющего ограничениям на среднюю мощность и на полосу частот, к задаче передачи сообщений по непрерывному каналу с дискретным временем с помощью кода, удовлетворяющего некоторому другому ограничению на среднюю мощность, затем воспользуемся прямой теоремой кодирования, доказанной для каналов с дискретным временем. Пусть код
где
где
Пусть
тогда
где с. в.
где
для каждого слова Таким образом, любому коду Согласно теореме 4.2.4 для любого положительного максимальной вероятности ошибки. Если теперь каждому кодовому слову
и рассматривать множество этих функций как код
кодовых слов, где
причем каждое ксдобсе слово будет удовлетворять ограничениям Из обратной теоремы кодирования (теорема 4.3.3) и доказанной прямой теоремы вытекает следующее утверждение. Следствие 4.4.1. Пусть В заключение мы сделаем два замечания, в которых дается обсуждение принятой модели канала и результатов, полученных в обратной и прямой теоремах кодирования для непрерывных каналов. 1. Реальный канал с точки зрения передачи электрических сигналов представляет собой фильтр. Еслишум отсутствует и на вход такого фильтра подаемся гармоническое колебание вообще не проходит через канал. Чаще всего частотная характеристика канала формируется с помощью специальных каналообразующих устройств с целью обеспечения возможности одновременной работы нескольких абонентов. Для этого пытаются уменьшить влияние входных сигналов одного абонента на выходные сигналы другого и подбирают частотные характеристики Введенное выше ограничение на полосу частот входных сигналов можно связать со свойствами частотной характеристики канала как фильтра. Пусть
Тогда все составляющие входного сигнала, частоты которых лежат вне полосы Таким образом, следствие 4.4.1 дает пропускную способность непрерывного канала с аддитивным белым гауссовским шумом с сигналами ограниченной мощности и идеальным полосовым фильтром. Строго говоря, это утверждение требует некоторого уточнения. Дело в том, что спектр любого сигнала, ограниченного по длительности, отличен от нуля в бесконечной полосе частот. Поэтому часть мощности сигналов ограниченной длительности теряется и требуется учитывать величину потерянной мощности. Заметим, что можно построить сигналы длительности 2. Мы показали, что пропускная способность рассматриваемого канала возрастает с увеличением допустимой полосы частот возможно за счет усложнения кодирующих и декодирующих устройств, а также за счет увеличения задержки
Обозначим через
и через
где Величина
называется удельным отношением сигнал/шум на бит в полосе 1 Гц за 1 секунду. Очевидно,
Условие (4.4.14) дает нижнюю границу для удельного отношения сигнал/шум, при котором возможно осуществить надежную передачу по каналу с аддитивным белым гауссовским шумом:
Если величина большей, чем некоторое положительное число, и стремиться к единице при увеличении Задачи, упражнения и дополнения(см. скан) (см. скан) (см. скан) (см. скан) (см. скан) (см. скан) (см. скан) КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ КОММЕНТАРИЙ И ЛИТЕРАТУРАВпервые формулы для пропускных способностей непрерывного канала без памяти с дискретным временем с аддитивным гауссовским шумом и канала непрерывного времени с аддитивным белым гауссовским шумом при ограничении на среднюю мощность входных сигналов были получены К. Шенноном [3, 4]. Пропускная способность каналов с аддитивным небелым гауссовским шумом была найдена К. Шенноном [4], строгое обоснование ее вывода было позднее дано М. С. Пинскером [2]. Более полное, чем в настоящей книге, исследование кодирования в канале с гауссовским шумом (в частности, кодирование в каналах с фильтрами) содержится в книге Р. Галлагера [1]. В этой книге рассмотрено кодирование и для более общих моделей канала. (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|