Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 2.6. Случайные процессы непрерывного времениСлучайные процессы дискретного времени были определены в первой главе. В этом параграфе мы кратко остановимся на случайных процессах непрерывного времени — на способах их задания, интегрирования и представления в виде рядов. Целью настоящего параграфа является напоминание важных с нашей точки зрения фактов из теории случайных процессов. Многие вопросы, связанные с обоснованиями сходимости, перемены порядка интегрирования, существования пределов и др., остаются вне изложения, Более подробно с этими вопросами можно познакомиться по книгам [6, 12]. Пусть Случайный процесс Определение 2.6.1. Случайный процесс непрерывного времени
Другими словами, процесс Основными числовыми характеристиками случайного процесса являются его математическое ожидание
и корреляционная функция
Функция Очевидно, что для стационарного случайного процесса Рассмотрим основные свойства функции корреляции случайного процесса. Имеют место следующие свойства:
3) для любой функции
если интеграл существует. Последнее свойство называется неотрицательной определенностью функции корреляции. Если (2.6.7) выполняется для каждой ненулевой функции со строгим неравенством, то говорят, что функция корреляции Для стационарных случайных процессов из первого свойства следует, что Преобразование Фурье корреляционной функции
где здесь и далее
Полагая в последнем соотношении
Дисперсия случайного процесса характеризует его среднюю мощность, и соотношение (2.6.10) показывает, что функция Ниже мы встретимся с интегралами от случайного процесса. Прежде чем ввести понятие интеграла, определим среднеквадратическую сходимость последовательности случайных величин. Определение 2.6.2. Последовательность случайных величин
Можно показать, что услозие (2.6.11) эквивалентно следующему:
где тип стремятся к бесконечности независимо друг от друга. Имеет место следующая лемма, в которой указывается условие существования с. к. предела последовательности с. в., имеющих ограниченную дисперсию. Лемма 2.6.1. Для того чтобы существовал с. к. предел последовательности с. в. Введем теперь понятие интеграла от случайного процесса. Пусть Определение 2.6.3. Пусть случайный процесс
где С помощью леммы 2.6.1 доказывается следующее утверждение. Теорема 2.6.1. Пусть случайный процесс
Если это условие выполнено, то для двух с. в.
выполняются следующие соотношения
Обсуждение леммы 2.6.1 и теоремы 2.6.1 см. в задачах 2.6.2- 2.6.4. Далее мы будем рассматривать представление случайных процессов с помощью ортогональных рядов. Будем предполагать до конца этого раздела, что рассматриваемые функции определены на интервале Теорема 2.6.2. Пусть функция корреляции
Пусть
Тогда
где равенство понимается в среднеквадратическом смысле, т. е.
для любого В теореме 2.6.2 утверждается, что при выполнении определенных условий случайный процесс непрерывного времени представим в виде ряда (2.6.15). Благодаря такому представлению возможно установить соответствие между случайным процессом Особый интерес представляет разложение Карунена-Лоэва. Прежде чем формулировать теорему об этом разложении, рассмотрим интегральное уравнение
где Из теории интегральных уравнений известно, что уравнение (2.6.17) имеет ненулевые решения не более чем для счетного множества чисел Теорема 2.6.3. (Разложение Карунена-Лоэва.) Пусть случайный процесс
где
При этом
Другими словами, коэффициенты ряда Карунена-Лоэва, имеющие различные индексы, некоррелированы, а дисперсия Заметим, что в случае разложения случайного процесса
Ввиду некоррелированности коэффициентов разложение Карунена-Лоэва представляет особый интерес для гауссовских случайных процессов. Гауссовский случайный процесс может быть определен одним из следующих двух эквивалентных способов. Определение 2.6.4 (а). Случайный процесс Определение Так как для гауссовских случайных величин из некоррелированности следует их независимость, то в случае разложения гауссовского случайного процесса в ряд Карунена-Лоэва совместная ф. п. в. коэффициентов
В заключение этого параграфа определим процесс, называемый белым шумом. В случае дискретного времени белым шумом называют случайный процесс, значения которого в любые различные моменты времени являются независимыми случайными величинами. Аналогичным образом определяется белый шум и в случае непрерывного времени. Однако в последнем случае процесс белого шума оказывается столь «странным», что его строгое определение оказывается невозможным, если только не вводить обобщенные функции. Поэтому белый шум часто называют обобщенным случайным процессом. Пусть
Если взять систему ортонормальных гармонических функций
то Пусть теперь
В этом процессе присутствуют все частотные составляющие; их мощности одинаковы и равны Пусть
Введем в рассмотрение две с. в.
Из независимости с. в. теперь вытекает, что
а из гауссовости этих с. в. — что Основное свойство белого гауссовского шума заключается в том, что пара с. в., определяемая соотношениями (2.6.25) для любых двух ортонормальных функций Функция корреляции белого шума не существует как обычная функция. Функция корреляции для частотно-ограниченного белого шума
Можно показать, что в случае гармонических функций
Поэтому иногда считают, что белый шум — это процесс, функция корреляции которого определяется соотношением
Процесс белого шума имеет бесконечную мощность в каждый момент времени и поэтому не может быть задан как совокупность с. в.
|
1 |
Оглавление
|