§ 2.6. Случайные процессы непрерывного времени

Случайные процессы дискретного времени были определены в первой главе. В этом параграфе мы кратко остановимся на случайных процессах непрерывного времени — на способах их задания, интегрирования и представления в виде рядов. Целью настоящего параграфа является напоминание важных с нашей точки зрения фактов из теории случайных процессов. Многие вопросы, связанные с обоснованиями сходимости, перемены порядка интегрирования, существования пределов и др., остаются вне изложения, Более подробно с этими вопросами можно познакомиться по книгам [6, 12].

Пусть интервал на числовой прямой. Случайным процессом называется система случайных величин индексованная параметром . В дальнейшем при каждом является действительной случайной величиной и параметр понимается как время. Если пробегает все множество значений интервала то случайный процесс называется процессом непрерывного времени и обозначается через Будем также предполагать, что случайные величины, представляющие значения случайного процесса, задаются ф. п. в. Для с. в. обозначается через Для системы с. в. совместная зависит от выбранных моментов времени и обозначается через

Случайный процесс считается заданным на интервале если для любого любых задана совместная ф. п. в. системы с. в.

Определение 2.6.1. Случайный процесс непрерывного времени заданный на интервале называется стационарным, если для любого любых и а также для любого

Другими словами, процесс стационарен, если его любые -мерные ф. п. в. не зависят от сдвига по оси времени.

Основными числовыми характеристиками случайного процесса являются его математическое ожидание определяемое соотношением

и корреляционная функция неслучайная функция двух аргументов, определяемая соотношением

Функция называется дисперсией случайного процесса

Очевидно, что для стационарного случайного процесса а корреляционная функция зависит только от разности аргументов

Рассмотрим основные свойства функции корреляции случайного процесса. Имеют место следующие свойства:

3) для любой функции заданной на интервале

если интеграл существует. Последнее свойство называется неотрицательной определенностью функции корреляции. Если (2.6.7) выполняется для каждой ненулевой функции со строгим неравенством, то говорят, что функция корреляции положительно определена.

Для стационарных случайных процессов из первого свойства следует, что четная функция, а из второго, что —

Преобразование Фурье корреляционной функции стационарного случайного процесса если оно существует, будем обозначать через

где здесь и далее Функцию называют спектральной плотностью мощности процесса Она является четной неотрицательной функцией Зная можно найти корреляционную функцию с помощью обратного преобразования Фурье:

Полагая в последнем соотношении получим

Дисперсия случайного процесса характеризует его среднюю мощность, и соотношение (2.6.10) показывает, что функция описывает распределение мощности по частотам.

Ниже мы встретимся с интегралами от случайного процесса. Прежде чем ввести понятие интеграла, определим среднеквадратическую сходимость последовательности случайных величин.

Определение 2.6.2. Последовательность случайных величин сходится в среднеквадратическом (с. к. сходится) к случайной величине X, если

Можно показать, что услозие (2.6.11) эквивалентно следующему:

где тип стремятся к бесконечности независимо друг от друга.

Имеет место следующая лемма, в которой указывается условие существования с. к. предела последовательности с. в., имеющих ограниченную дисперсию.

Лемма 2.6.1. Для того чтобы существовал с. к. предел последовательности с. в. при необходимо и достаточно, чтобы существовал предел где стремятся к бесконечности независимо друг от друга. Если это условие выполнено, то для предельной с. в.

Введем теперь понятие интеграла от случайного процесса. Пусть некоторое разбиение интервала — произвольная функция, заданная на том же интервале.

Определение 2.6.3. Пусть случайный процесс задан на интервале Если последовательность с. в.

где сходится независимо от выбранной последовательности разбиений к с. в. при то I называется интегралом в среднеквадратическом смысле или просто интегралом от случайного процесса с весом и обозначается символом

С помощью леммы 2.6.1 доказывается следующее утверждение. Теорема 2.6.1. Пусть случайный процесс имеет нулевое среднее, и ограниченную функцию корреляции Необходимым и достаточным условием существования интеграла от случайного процесса с весом является существование и ограниченность обычного интеграла

Если это условие выполнено, то для двух с. в.

выполняются следующие соотношения и

Обсуждение леммы 2.6.1 и теоремы 2.6.1 см. в задачах 2.6.2- 2.6.4.

Далее мы будем рассматривать представление случайных процессов с помощью ортогональных рядов. Будем предполагать до конца этого раздела, что рассматриваемые функции определены на интервале и для каждой неслучайной функции интеграл от ее квадрата конечен. Другими словами, мы рассматриваем пространство функций Две функции называются ортогональными, если Функция называется нормированной, если Система ортогональных нормированных функций называется системой ортонормированных функций. Известно, что в существует так называемая полная система ортонормированных функций, т. е. такая система, что в не существует ненулевой функции, ортогональной всем функциям из этой системы. Если полная ортонормированная система, то любая функция из представима в виде предела последовательности таких функций.

Теорема 2.6.2. Пусть функция корреляции случайного процесса непрерывна и удовлетворяет условию

Пусть полная в система ортонормиоованных функций и случайные величины, определяемые соотношениями

Тогда

где равенство понимается в среднеквадратическом смысле, т. е.

для любого из интервала

В теореме 2.6.2 утверждается, что при выполнении определенных условий случайный процесс непрерывного времени представим в виде ряда (2.6.15). Благодаря такому представлению возможно установить соответствие между случайным процессом и бесконечной последовательностью с. в. коэффициентами ряда.

Особый интерес представляет разложение Карунена-Лоэва. Прежде чем формулировать теорему об этом разложении, рассмотрим интегральное уравнение

где неизвестная функция.

Из теории интегральных уравнений известно, что уравнение (2.6.17) имеет ненулевые решения не более чем для счетного множества чисел Числа при которых уравнение (2.6.17) имеет решения, называются собственными числами, а сами решения — собственными функциями уравнения (2.6.17) или собственными функциями корреляционного ядра Известно также, что из симметричности и неотрицательной определенности корреляционной функции следует, что все собственные числа действительны и неотрицательны, а нормированные собственные функции образуют ортонормированную систему функций. Эта система функций полна в в том и только в том случае, когда все собственные числа положительны, т. е. когда уравнение (2.6.17) не имеет ненулевых решений при

Теорема 2.6.3. (Разложение Карунена-Лоэва.) Пусть случайный процесс заданный на интервале имеет нулевое среднее, и непрерывную функцию корреляции которая удовлетворяет условию (2.6.13). Пусть -система нормированных собственных функций корреляционного ядра соответствующие собственные числа. Тогда имеет место равенство в среднеквадратическом смысле

где

При этом

Другими словами, коэффициенты ряда Карунена-Лоэва, имеющие различные индексы, некоррелированы, а дисперсия коэффициента равна собственному числу корреляционного ядра.

Заметим, что в случае разложения случайного процесса имеющего нулевое среднее, по произвольной системе ортогональных функций корреляционный момент с. в. определяется из соотношения

Ввиду некоррелированности коэффициентов разложение Карунена-Лоэва представляет особый интерес для гауссовских случайных процессов. Гауссовский случайный процесс может быть определен одним из следующих двух эквивалентных способов.

Определение 2.6.4 (а). Случайный процесс заданный на интервале называется гауссовским, если для любого и любых случайные величины имеют гауссовскую совместную ф. п. в.

Определение Случайный процесс заданный на интервале называется гауссовским, если для любого и любой системы функций случайные величины определяемые соотношениями (2.6.14), имеют гауссовскую совместную ф. п. в.

Так как для гауссовских случайных величин из некоррелированности следует их независимость, то в случае разложения гауссовского случайного процесса в ряд Карунена-Лоэва совместная ф. п. в. коэффициентов разложения задается особенно просто, а именно

В заключение этого параграфа определим процесс, называемый белым шумом. В случае дискретного времени белым шумом называют случайный процесс, значения которого в любые различные моменты времени являются независимыми случайными величинами. Аналогичным образом определяется белый шум и в случае непрерывного времени. Однако в последнем случае процесс белого шума оказывается столь «странным», что его строгое определение оказывается невозможным, если только не вводить обобщенные функции. Поэтому белый шум часто называют обобщенным случайным процессом.

Пусть полная в система ортонормальных функций и система независимых гауссовских с. в. с нулевым средним и дисперсией - одинаковой для всех индексов Зафиксируем и рассмотрим случайный процесс представляющий собой усеченный ряд:

Если взять систему ортонормальных гармонических функций

то будет случайной амплитудой -й гармонической (частотной) составляющей, а мощностью этой составляющей процесса Последовательность чисел естественно называть распределением мощности по спектру частот. Для процесса распределение мощности таково: для всех частот мощность одинакова и равна — а для всех остальных частот мощность равна нулю.

Пусть теперь возрастает к бесконечности. Случайный процесс который получается как предельный для последовательности случайных процессов называется белым гауссовским шумом.

В этом процессе присутствуют все частотные составляющие; их мощности одинаковы и равны При этом число называется интенсивностью белого шума. Случайный процесс для каждого фиксированного называется частотно-ограниченным белым гауссовским шумом.

Пусть — две произвольные ортонормальные функции из т. е. Тогда

Введем в рассмотрение две с. в.

Из независимости с. в. теперь вытекает, что

а из гауссовости этих с. в. — что пара независимых гауссовских с. в., математическое ожидание которых равно нулю, а дисперсии равны

Основное свойство белого гауссовского шума заключается в том, что пара с. в., определяемая соотношениями (2.6.25) для любых двух ортонормальных функций является парой независимых гауссовских с. в. Это свойство часто принимают за другое определение белого гауссовского шума.

Функция корреляции белого шума не существует как обычная функция. Функция корреляции для частотно-ограниченного белого шума

Можно показать, что в случае гармонических функций

Поэтому иногда считают, что белый шум — это процесс, функция корреляции которого определяется соотношением

Процесс белого шума имеет бесконечную мощность в каждый момент времени и поэтому не может быть задан как совокупность с. в. каждая из которых соответствует одному из значений параметра Очевидно, что белый шум не соответствует никакому физическому процессу. Однако модель белого шума часто используют в практических расчетах. Результаты расчетов хорошо согласуются с реальными характеристиками систем в тех случаях, когда физический процесс имеет постоянную спектральную плотность мощности в достаточно широкой полосе частот.