Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 2.6. Случайные процессы непрерывного времениСлучайные процессы дискретного времени были определены в первой главе. В этом параграфе мы кратко остановимся на случайных процессах непрерывного времени — на способах их задания, интегрирования и представления в виде рядов. Целью настоящего параграфа является напоминание важных с нашей точки зрения фактов из теории случайных процессов. Многие вопросы, связанные с обоснованиями сходимости, перемены порядка интегрирования, существования пределов и др., остаются вне изложения, Более подробно с этими вопросами можно познакомиться по книгам [6, 12]. Пусть Случайный процесс Определение 2.6.1. Случайный процесс непрерывного времени
Другими словами, процесс Основными числовыми характеристиками случайного процесса являются его математическое ожидание
и корреляционная функция
Функция Очевидно, что для стационарного случайного процесса Рассмотрим основные свойства функции корреляции случайного процесса. Имеют место следующие свойства:
3) для любой функции
если интеграл существует. Последнее свойство называется неотрицательной определенностью функции корреляции. Если (2.6.7) выполняется для каждой ненулевой функции со строгим неравенством, то говорят, что функция корреляции Для стационарных случайных процессов из первого свойства следует, что Преобразование Фурье корреляционной функции
где здесь и далее
Полагая в последнем соотношении
Дисперсия случайного процесса характеризует его среднюю мощность, и соотношение (2.6.10) показывает, что функция Ниже мы встретимся с интегралами от случайного процесса. Прежде чем ввести понятие интеграла, определим среднеквадратическую сходимость последовательности случайных величин. Определение 2.6.2. Последовательность случайных величин
Можно показать, что услозие (2.6.11) эквивалентно следующему:
где тип стремятся к бесконечности независимо друг от друга. Имеет место следующая лемма, в которой указывается условие существования с. к. предела последовательности с. в., имеющих ограниченную дисперсию. Лемма 2.6.1. Для того чтобы существовал с. к. предел последовательности с. в. Введем теперь понятие интеграла от случайного процесса. Пусть Определение 2.6.3. Пусть случайный процесс
где С помощью леммы 2.6.1 доказывается следующее утверждение. Теорема 2.6.1. Пусть случайный процесс
Если это условие выполнено, то для двух с. в.
выполняются следующие соотношения
Обсуждение леммы 2.6.1 и теоремы 2.6.1 см. в задачах 2.6.2- 2.6.4. Далее мы будем рассматривать представление случайных процессов с помощью ортогональных рядов. Будем предполагать до конца этого раздела, что рассматриваемые функции определены на интервале Теорема 2.6.2. Пусть функция корреляции
Пусть
Тогда
где равенство понимается в среднеквадратическом смысле, т. е.
для любого В теореме 2.6.2 утверждается, что при выполнении определенных условий случайный процесс непрерывного времени представим в виде ряда (2.6.15). Благодаря такому представлению возможно установить соответствие между случайным процессом Особый интерес представляет разложение Карунена-Лоэва. Прежде чем формулировать теорему об этом разложении, рассмотрим интегральное уравнение
где Из теории интегральных уравнений известно, что уравнение (2.6.17) имеет ненулевые решения не более чем для счетного множества чисел Теорема 2.6.3. (Разложение Карунена-Лоэва.) Пусть случайный процесс
где
При этом
Другими словами, коэффициенты ряда Карунена-Лоэва, имеющие различные индексы, некоррелированы, а дисперсия Заметим, что в случае разложения случайного процесса
Ввиду некоррелированности коэффициентов разложение Карунена-Лоэва представляет особый интерес для гауссовских случайных процессов. Гауссовский случайный процесс может быть определен одним из следующих двух эквивалентных способов. Определение 2.6.4 (а). Случайный процесс Определение Так как для гауссовских случайных величин из некоррелированности следует их независимость, то в случае разложения гауссовского случайного процесса в ряд Карунена-Лоэва совместная ф. п. в. коэффициентов
В заключение этого параграфа определим процесс, называемый белым шумом. В случае дискретного времени белым шумом называют случайный процесс, значения которого в любые различные моменты времени являются независимыми случайными величинами. Аналогичным образом определяется белый шум и в случае непрерывного времени. Однако в последнем случае процесс белого шума оказывается столь «странным», что его строгое определение оказывается невозможным, если только не вводить обобщенные функции. Поэтому белый шум часто называют обобщенным случайным процессом. Пусть
Если взять систему ортонормальных гармонических функций
то Пусть теперь
В этом процессе присутствуют все частотные составляющие; их мощности одинаковы и равны Пусть
Введем в рассмотрение две с. в.
Из независимости с. в. теперь вытекает, что
а из гауссовости этих с. в. — что Основное свойство белого гауссовского шума заключается в том, что пара с. в., определяемая соотношениями (2.6.25) для любых двух ортонормальных функций Функция корреляции белого шума не существует как обычная функция. Функция корреляции для частотно-ограниченного белого шума
Можно показать, что в случае гармонических функций
Поэтому иногда считают, что белый шум — это процесс, функция корреляции которого определяется соотношением
Процесс белого шума имеет бесконечную мощность в каждый момент времени и поэтому не может быть задан как совокупность с. в.
|
1 |
Оглавление
|