Главная > Курс теории информации
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

2.8.2. Необходимые условия Куна-Таккера.

Обозначим через пространство всех -мерных действительных векторов. Элементы будем называть векторами или точками. Каждый ненулевой вектор можно рассматривать как некоторое направление. Пусть некоторая фиксированная точка из а — скалярная величина, изменяющаяся от 0 до бесконечности. Тогда каждая из точек вида представляет собой вектор, проходящий через точку х и имеющий направление

Пусть функция, определенная на Градиентом этой функции в точке х называется вектор определяемый через частные производные в точке следующим образом:

Нетрудно проверить, что для произвольного направления

где в правой части равенства написано матричное произведение вектора-строки на вектор-столбец Градиент определяет тем самым скорость роста функции в направлении

вектора Если для некоторого направления выполняется неравенство то найдется окрестность точки х, в которой функция возрастает в направлении вектора рис, 2.8.1). Как следует из соотношения (2.8.6), величина приращения при малых примерно равна

Предположим, что задана функция а также функции причем все функции дифференцируемы в Рассмотрим задачу

при ограничениях

В этой задаче условий имеют вид неравенств и условий — вид равенств.

Заметим, что ограничение эквивалентно ограничению а минимизация функции при некоторых ограничениях эквивалентна максимизации функции при тех же ограничениях, поэтому достаточно всегда рассматривать задачу (2.8.7) при ограничениях (2.8.8).

Если ограничения в задаче поиска максимума отсутствуют, то в точке максимума Другими словами, движение из X в любом направлении не увеличивает значение функции в некоторой окрестности точких. Если же ограничения имеются, то в точке максимума х градиент не обязательно равен нулю и, вообще говоря, может найтись направление в котором функция возрастает. Однако теперь следует учитывать не все возможные направления, а лишь те, движения в направлении которых не нарушают заданных ограничений. Для каждой точки удовлетворяющей условиям (2.8.8) (такие точки будем называть допустимыми), и некоторого а имеется множество допустимых направлений:

Точка будет доставлять максимум функции при заданных ограничениях, если движение в любом допустимом направлении не увеличивает значение функции. Таким образом, если х — оптимальная точка, то существует а такое, что

Условия Куна-Таккера позволяют строго сформулировать приведенные выше соображения, а также придать им более удобную форму.

Рассмотрим множество более подробно, чтобы описать его в явной форме через ограничения. В каждой допустимой точке х ограничения типа неравенств могут быть разбиты на два множества: на те, которые активны в для них и на те, которые неактивны в для последних Пусть множество тех индексов для которых множество индексов активных ограничений. Для неактивных ограничений и в силу непрерывности функций существует некоторая окрестность точки х, движение внутри которой не нарушает этих ограничений.

Определим множество следующим образом:

Лемма Для каждой допустимой точки и любого а имеет место включение

Доказательство. Пусть зафиксировано а Покажем, что Предположим вначале, что хотя бы для одного индекса Тогда, из следует, что Это противоречит предположению о том, что допустимая точка. Следовательно, Аналогично доказывается, что Окончательно имеем для всех Предположим теперь, что для некоторого} . Тогда из (2.8.6) следует, что Это противоречит предположению, что Следовательно, для всех Лемма доказана.

Следует сказать, что в общем случае имеются направления из которые не принадлежат ни при каком а (см. задачу 2.8.1). Вместе с тем для широкого класса функций существует для которого в оптимальной точке

Говорят, что выполнено условие регулярности, если для некоторого в оптимальной точке х имеет место равенство

В дальнейшем мы будем предполагать, что условие регулярности выполняется. Заметим, что в случае, когда представляют собой ограничения, которым удовлетворяют только вероятностные векторы, выполнение условия регулярности (2.8.12) может быть легко показано (см. задачу 2.8.2).

Таким образом, из (2.8.10) и условия регулярности вытекает, что для оптимальной точки х

Теперь будет приведено без доказательства утверждение, известное под названием леммы Фаркаша.

Лемма 2.8.2. Пусть множество векторов из Для того чтобы существовали неотрицательных чисел таких, что необходимо и достаточно, чтобы для любого вектора для которого выполнялось неравенство

Из этой леммы и определения множества непосредственно следует теорема Куна-Таккера, дающая необходимые условия решения задачи (2.8.7) при ограничениях (2.8.8).

Теорема 2.8.1 (Куна-Таккера). Пусть решение задачи (2.8.7) при ограничениях (2.8.8) и выполнело условие регулярности. Тогда существуют числа неопределенные множители Лагранжа), такие, что

2) имеет место равенство

Доказательство. Заметим, что ограничение можно записать с помощью двух ограничений — неравенств, а именно Поэтому множество (см. (2.8.11)) можно определить следующим образом:

Теперь из (2.8.13) следует, что для векторов

выполнены условия леммы Фаркаша и поэтому существуют такие неотрицательные числа что

Если обозначить и положить для всех то последнее соотношение примет вид (2.8.11). Отсюда также следует, что для всех имеет место равенство Теорема доказана.

1
Оглавление
email@scask.ru