Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 5.6. Эпсилон-энтропия гауссовского случайного вектораВ этом параграфе мы начнем изучение эпсилон-энтропии гауссовских источников более сложных, чем источники без памяти. Хотя в дальнейшем нас будут интересовать стационарные источники, здесь мы получим выражение для эпсилон-энтропии гауссовского случайного вектора, в общем случае не обязательно связанного с некоторым стационарным источником. Пусть
— ошибка аппроксимации вектора х с помощью вектора у. Определение 5.6.1. Эпсилон-энтропией случайного вектора
где
Очевидно,
— средняя ошибка аппроксимации 5.6.1. Эпсилон-энтропия системы независимых гауссовских случайных величин.В случае независимых с. в. вектор X имеет ф. п. в.
Будем предполагать, что
Из независимости с. в.
причем равенство достигается в том случае, когда пары с. в.
для всех последовательностей х и у. Из (5.6.6) следует, что
В дальнейшем будет показано, что в множестве
а минимум по не превосходит
где
поэтому
при условии, что
При минимизации (5.6.12) можно полагать, что для любого
Если минимум найдется при условии (5.6.14), то этот минимум будет равен искомой величине Таким образом, мы получили следующую задачу минимизации:
Нетрудно проверить, что область
принадлежит Согласно этим теоремам необходимым и достаточным условием того, чтобы вектор
при условиях
является существование такого числа
Если удастся подобрать некоторое Пусть
и пусть
Очевидно, что вектор
условия (5.6.18) удовлетворяются. Действительно,
Так как
Таким образом, указанный выше вектор
есть эпсилон-энтропия гауссовского вектора с независимыми компонентами, дисперсии которых равны Замечание. При выводе формулы (5.6.24) мы, не оговаривая, предполагали, что все дисперсии
|
1 |
Оглавление
|