Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава 1. КОДИРОВАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ ИСТОЧНИКОВВ этой главе будут даны основные определения: дискретного вероятностного ансамбля, дискретного источника, дискретной случайной величины на ансамбле и кода для дискретного источника. Дискретные источники представляют собой наиболее простой объект теории информации. Начинать именно с этого типа источников удобно не только потому, что здесь требуется наименьшее количество определений и вспомогательных результатов, но и потому, что на этом простом объекте можно показать методологию теории информации и продемонстрировать ее основные технические приемы. Задача, которая рассматривается в этой главе, весьма часто встречается на практике и иногда называется задачей сжатия данных. Предположим, что некоторый источник порождает последовательность дискретных сообщений и требуется представить эту последовательность с помощью некоторых символов, скажем, с помощью нулей и единиц. Не вызывает сомнения то, что это можно сделать для любой последовательности сообщений. Вопрос может заключаться в том, как это сделать наиболее экономным образом, т. е. как затратить на это наименьшее количество двоичных символов. Ответ на этот вопрос лежит в изучении различных статистических моделей источников и определении для этих моделей величины, называемой скоростью создания информации. Будет показано, что скорость создания информации равна энтропии источника на сообщение, величине, которая определяется с помощью вводимого в этой главе понятия количества информации в сообщении. § 1.1. Дискретные ансамбли и источникиОсновным объектом изучения в этой главе будут дискретные источники сообщений. Здесь мы дадим определения, необходимые для описания математических моделей источников. Описание источников удобно начать с определения дискретных вероятностных ансамблей. Пусть Иногда элементы множеств мы будем снабжать подстрочными индексами, как это сделано выше. Такой индекс представляет собой номер элемента в множестве. Хотя для большинства случаев природа элементов несущественна, мы будем называть элементы множеств X сообщениями, подчеркивая тем самым область приложения теории. Говорят, что на конечном множестве X задано распределение вероятностей
Пусть А есть подмножество множества
представляет собой вероятность того, что при случайном выборе сообщения из множества X в соответствии с распределением Пример 1.1.1. Пусть X — множество сообщений о результатах бросания правильной игральной кости. Тогда Сообщения Определение 1.1.1. Конечное множество X вместе с заданным на нем распределением вероятностей вероятностей идет речь или когда точное описание распределения несущественно, мы будем обозначать ансамбль через Пусть Пусть
задают распределения вероятностей Если распределение вероятностей на произведенйичдвух множеств
то ансамбли Пусть задан ансамбль
называется условной вероятностью сообщения Опишем теперь общее семейство условных ансамблей, которые образуются при совместном задании двух ансамблей. Пусть А — произвольное подмножество элементов из X такое, что
называется условной вероятностью сообщения у,- при условии, что сообщение Аналогичные условные распределения могут быть определены также для множества Рассмотрим произведение заданное на этом произведении. Другими словами, рассмотрим вероятностный ансамбль
Соотношения (1.1.7) задают безусловные распределения вероятностей на множествах
то ансамбли При совместном задании
где суммирование производится по всем множествам Вводя по аналогии с (1.1.5) и (1.1.6) условные распределения на множестве Пример 1.1.2. Пусть Можно представить себе более сложный эксперимент с костью и монетой. Предположим, что вначале бросается кость. Если выпало четное число очков, бросается неправильная монета, у которой вероятность выпадения стороны, соответствующей (см. скан) Нетрудно видеть, что безусловные распределения в этом случае такие же, как и в случае одной симметричной (правильной) монеты, но ансамбли Пример 1.1.3. Рассмотрим а) Предположим, что бросается правильная монета. Тогда все возможные исходы имеют одинаковые вероятности, равные
Следовательно, подбрасывание правильной монеты соответствует последовательности независимых испытаний. б) Теперь предположим, что имеются две неправильные монеты, описанные в примере 1.1.2. Сначала наудачу выбирается одна из двух монет. Если результат бросания есть
где
Распределение вероятностей для каждого очередного бросания зависит только Перейдем теперь к описанию дискретных источников. Под дискретным источником понимают некоторое устройство, которое в каждую единицу времени (наш) и мер, каждую секунду) выбирает одно из сообщений дискретного чмножества С точки зрения теории информации источник считается заданным полностью, если имеется некоторая вероятностная схема (модель), позволяющая вычислить вероятность любого отрезка сообщении. Например, недостаточно сказать, что в качестве источника сообщений рассматривается телеграфный аппарат или передающее телевизионное устройство. Недостаточно также сказать, что известны вероятности букв, появляющихся на выходе телеграфного аппарата, или вероятности импульсов различной амплитуды на выходе телевизионного устройства. Для полного задания источника необходимо дать вероятностное описание процесса появлений сообщений на выходе источника. В примере с телеграфным аппаратом нужно дать такое описание, при котором можно вычислить вероятность любого буквенного сочетания, слова, предложения и т. д. в любой момент времени. Таким образом, если источник задан, то для любых Определение Замечание. Распределение вероятности на подпоследовательностях с помощью соотношения (1.1.9), причем многими способами. Например,
Условие согласованности обеспечивает совпадение всех этих распределений. В определении 1.1.2 легко усмотреть определение случайного процесса дискретного времени, который в каждый момент времени принимает значение из множества В общем случае вероятность некоторого отрезка сообщений зависит как от самого отрезка, так и от его расположения на оси времени. Имеется, однако, важный класс источников, обладающих однородностью во времени или стационарностью. Свойство стационарности состоит в том, что для любого целого числа
- при Определение 1.1.3. Дискретный источник В случае стационарных источников распределение вероятностей не зависит от сдвига по оси времени. Все последовательности, отличающиеся только положением на оси времени, имеют одинаковые вероятности. Поэтому их положение на оси времени можно не оговаривать. Определение 1.1.4. Дискретный источник называется источником без памяти, если для любых
В общем случае распределение вероятностей для сообщений на выходе источника в момент времени
где через Всюду в этой книге мы будем рассматривать только стационарные источники. Поэтому вместо длинного сочетания слов «стационарный источник без памяти» будет употребляться более короткое выражение «источник без памяти». В этом случае стационарность будет подразумеваться. В случае стационарных источников с памятью, для которых соотношение (1.1.12) не выполняется, мы будем использовать термин «стационарный источник». Заметим, что стационарные источники без памяти иногда называются постоянными. Пример 1.1.4. Пусть
|
1 |
Оглавление
|