Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 4.2. Непрерывные каналы без памяти с дискретным временемВ этом параграфе будет рассмотрена прямая теорема кодирования. Хотя в дальнейшем будут рассматриваться только непрерывные каналы без памяти с дискретным временем, мы начнем с общего результата, который позволяет получать прямые теоремы кодирования не только в случае каналов без памяти. Этим результатом является неравенство Файнстейна, вывод которого для непрерывных каналов с дискретным временем в точности повторяет соответствующий вывод для дискретных каналов и поэтому здесь опускается. Ниже будет приведена только формулировка теоремы, устанавливающей это неравенство. Теорема 4.2.1 (неравенство Файнстейна), Пусть задан произвольный непрерывный канал с дискретным временем. Пусть
где
Читателю нетрудно догадаться, что при использовании неравенства Файнстейна для доказательства прямых теорем кодирования для непрерывных каналов с дискретным временем при ограничении
Теперь мы рассмотрим непрерывные каналы без памяти с дискретным временем и покажем, что в этом случае имеет место теорема, аналогичная теореме Из нее вытекает, что информационная емкость каналов без памяти может быть вычислена более простым образом, чем в определении 4.1.3, а именно верхнюю грань в (4.1.16) можно искать, полагая Пусть
Определим множество
Для каждой функции Теорема 4.2.2. Информационная емкость непрерывного канала без памяти с ограничением
где максимум разыскивается по всем ф. п. в. f (х) из множества Доказательство. Пусть
где
и
В неравенстве (4.2.8) равенство достигается в том случае, когда выходные сигналы канала в различные моменты времени статистически независимы (см. доказательство теоремы 3.5.1). Заметим, что в случае каналов без памяти независимость выходных сигналов обеспечивается выбором статистически независимых сигналов на входе, т. е. таким выбором, что
Средняя взаимная информация является выпуклой вверх функцией относительно входных распределений (см. § 2.5). Поэтому
где
и
причем
В неравенстве (4.2.12) равенство достигается в том случае, когда
Легко указать функцию
Очевидно, что Тем самым, мы показали, что
Теорема доказана. Теперь мы еще более сузим класс рассматриваемых непрерывных каналов, а именно, рассмотрим канал без памяти с дискретным временем и аддитивным гауссовским шумом. Предположим, что для любой случайной последовательности входных сигналов
причем случайные последовательности
где
Число Из (4.2.20) и статистической независимости
т. е. рассматриваемый канал является непрерывным каналом без памяти, в котором действует аддитивный гауссовский шум. Теорема 4.2.3. Информационная емкость непрерывного канала без памяти с дискретным временем, с аддитивным гауссовским шумом мощности
Доказательство. Для канала с аддитивным гауссовским шумом
где неравенство
Равенство в (4.2.25) достигается в том случае, когда с. в. Таким образом,
где максимум достигается выбором гауссовской ф. п. в. f (х) с параметрами Перейдем теперь к формулировке и доказательству прямой теоремы кодирования для непрерывных каналов без памяти с аддитивным гауссовским шумом. Теорема 4.2.4 (прямая теорема кодирования). Пусть С — информационная емкость непрерывного канала без памяти с дискретным временем и аддитивным гауссовским шумом мощности при ограничении Доказательство. Воспользуемся неравенством Файнстейна (теорема 4.2.1), в котором множество
Согласно теореме 4.2.1 для любой ф. п. в. f (х) на
где
Пусть
где
Рассмотрим среднюю взаимную информацию
где
или, что то же самое, уравнения
Из последнего соотношения видно, что — непрерывная функция Покажем, что при достаточно больших
В соответствии с (4.2.32) с. в.
для любого положительного числа Выберем параметр
Тогда при
Рассмотрим вероятность
Правую часть последнего соотношения можно оценить следующим образом:
В силу выбора
Наконец, найдется такое число
Таким сбразом, если
то при
Теорема доказана. Обратная и прямая теоремы кодирования позволяют теперь сформулировать следующее утверждение. Следствие 4.2.1. Пусть С — информационная емкость непрерывного канала без памяти с дискретным временем, аддитивным гауссовским шумом и ограничением на среднюю мощность входных сигналов. Пусть С — пропускная способность этого канала, т. е. такое максимальное число, что для любого положительного
|
1 |
Оглавление
|