Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 3.13.3. Нижняя граница для вероятности ошибки декодирования кода с фиксированной композицией.Пусть дан дискретный канал без памяти с матрицей переходных вероятностей
и среднюю энтропию распределения
Пусть, кроме того, для фиксированного последовательности
где
Имеет место следующее утверждение, показывающее, что для. каждого Лемма 3.13.3. Для любого в
Доказательство. Рассмотрим функцию
которая при каждом фиксированном
Из (3.13.21) следует, что
и при каждом фиксированном
Если
В силу того, что значение
где Применим теперь неравенство Чебышева. В результате получим, что
Аналогичным образом можно получить неравенство
где Пусть
Из (3.13.26) следует, что для любого Докажем теперь теорему о нижней границе вероятности ошибки для кодов с фиксированной композицией. Теорема 3.13.1. Пусть фиксированы дискретный канал без памяти с матрицей переходных вероятностей
где
Доказательство. Пусть
где
Подставляя (3.13.30) в (3.13.29), получим
Используем соотношение
Из (3.13.20) (второе неравенство) следует, что
Из (3.13.27) и (3.13.33) получим теперь
где последнее равенство в (3.13.34) следует из того, что решающие множества не пересекаются, а последнее неравенство — из того, что
Из (3.13.31), (3.13.32), (3.13.34) и леммы 3.13.3 следует окончательно, что
Для любого Доказанная теорема вместе с леммой 3.13.2 дает возможность построить нижнюю границу вероятности ошибки декодирования произвольного кода в дискретном канале без памяти. Заметим сначала, что неравенство (3.13.28) справедливо для любой стохастической матрицы Я, для которой выполняется условие (3.13.27). Следовательно, вероятность ошибки декодирования любого кода
где максимум разыскивается по всем стохастическим матрицам
где при достаточно больших
где минимум разыскивается по всем композициям Заметим, что множество всех композиций зависит от Для того чтобы избавиться от этой зависимости в дальнейшем, мы будем рассматривать в (3.13.37) вместо минимума по минимум по всем вероятностным векторам, задающим распределение вероятностей на Положим
и
где минимум разыскивается по всем вспомогательным матрицам переходных вероятностей Теорема 3.13.2. Для любого
Доказательство. Из леммы 3.13.2 следует, что для любого кода
где
где
что совпадает с (3.13.40). Теорема доказана. Из сравнения (3.13.13) и (3.13.14) с (3.13.39) можно заключить, что показатель экспоненты в нижней границе для ДСК, полученный в п. 3.13.1, также может быть представлен в форме (3.13.39). При этом для случая ДСК максимум по
|
1 |
Оглавление
|