Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 2.2. Непрерывные ансамбли и источники. Обобщение понятия количества информацииВсе предыдущее рассмотрение относилось только к случаю дискретныхансамблей и соответственно к случаю, когда дискретные ансамбли являлись моделями источников сообщений. Класс дискретных источников не исчерпывает всего многообразия источников, встречающихся на практике. Например, источник, порождающий речевые сообщения, не является дискретным, ибо в каждый момент времени выходным сигналом источника является некоторое действительное число — величина звукового давления. В этом параграфе мы введем непрерывные ансамбли сообщений, которые могут служить моделями источников непрерывных сообщений. Начнем с наиболее простого случая, а именно, ансамбля, соответствующего непрерывной случайной величине (с. в.). Пусть на числовой оси задано некоторое распределение вероятностей, определяющее с. в. X, и
Если существует функция
то она называется функцией плотности вероятностей (ф. п. в.) (или просто плотностью вероятностей) с. в.
Очевидно, функция Пример 2.2.1. Рассмотрим дискретную случайную величину — число очков при бросании кости. Возможные значения для этой с. в. суть Очевидно, Пример 2.2.2. Рассмотрим непрерывную с. в., которая задается функцией распределения
Нетрудно найти ф. п. в. этого распределения (см. рис. 2.2.2)
Пример 2.2.3. На рис. 2.2.3 показана функция распределения смешанного типа. Все значения, кроме
Рис. 2.2.1. Функция распре, деления числа очков при бросании игральной кости. Определение 2.2.1. Непрерывным ансамблем, задаваемым ф. п. в. Согласно этому определению мы отождествляем понятия непрерывного ансамбля и непрерывной действительной случайной величины, имеющей
соответственно. Определение 2.2.2. Пусть распределения вероятностей на
а
В этом случае будем говорить, что Всякий раз, как совместно заданы два непрерывных ансамбля, определено семейство различных условных непрерывных ансамблей. Так, если фиксировано сообщение
и условный непрерывный ансамбль
Рис. 2.2.2. Функция плотности вероятностей непрерывной с. в. примера 2.2.2.
Рис. 2.2.3. Функция распределения смешанного типа. Система более двух непрерывных ансамблей вводится в точности так же, как система двух ансамблей. Пусть Другими словами, для любого набора интервалов
Пусть
Соотношения (2.2.9) задают безусловные ф. п. в. на множествах
для любых Заметим, что при задании системы Пусть
Если
Для каждой с. в. определены ее числовые характеристики, например, математическое ожидание и дисперсия. Все числовые характеристики непрерывных случайных величин определяются так же, как и в случае дискретных случайных величин (см. § 1.2) с заменой вероятностей на ф. п. в. и сумм на интегралы. Очевидно, что для непрерывных с. в. справедливо неравенство Чебышева (1.2.8) и закон больших чисел (теорема 1.2.1) (см. также задачи Рассмотрим теперь совместное задание непрерывного ансамбля X и дискретного ансамбля подмножества. Введем в рассмотрение дискретное множество
Переход от непрерывного ансамбля Так же, как и в дискретном случае, разбиение
Отсюда и из (2.2.7) следует, что
С другой стороны, на дискретном множестве
Таким образом, ансамбль X задается ф. п. в.
либо посредством функции
Соотношение (2.2.14) показывает, что обе эти функции совпадают и определяют следующую функцию распределения на множестве
При рассмотрении различных функций на числовых множествах и изучении их свойств часто бывает необходимо рассматривать одновременно и дискретные и непрерывные распределения вероятностей. Такое общее рассмотрение можно осуществить с помощью функций распределений. Однако многие результаты, относящиеся к непрерывным распределениям, традиционно излагаются в терминах плотностей вероятностей и в этой форме имеют более простой вид, чем в форме, использующей функции распределения. Поэтому желательно также иметь описание дискретных распределений с помощью функций, имеющих смысл функций плотностей вероятностей. Ниже мы рассмотрим дельта-функцию Дирака (одну из так называемых обобщенных функций) и используем ее для задания плотностей вероятностей дискретных случайных величин. Дельта-функция Дирака,
где
и
Дельта-функцию можно умножать на число, складывать с другими дельта-функциями и складывать с обычными интегрируемыми функциями. Отдельно аналитические свойства дельтафункции не исследуются (хотя и можно представлять функцию Покажем теперь, как используется дельта-функция для описания дискретных с. в. Пусть
есть формальное выражение для обобщенной ф. п. в. указанного дискретного распределения, так как
Если на произведении
Безусловные ф. п. в. определяются обычным образом:
Отношение выражений, содержащих дельта-функции, вообще говоря, не определено, и поэтому условные ф. п. в., например
для всех выражений такого вида с ненулевыми коэффициентами
где
и функция
где
Введем теперь количество информации между сообщениями непрерывных ансамблей. В дискретном случае взаимная информация определялась через количество собственной информации в сообщении (см. определение Определение 2.2.3. Количеством взаимной информации между сообщениями
определенная для всех пар Заметим, что из (2.2.26) вытекает совпадение формул (2.2.27) и (2.1.7), определяющих взаимную информацию для непрерывного и дискретного случаев, если под Дополнительным основанием для указанного выше определения взаимной информации служит следующее рассуждение, основанное на дискретизации непрерывных ансамблей и предельном переходе. Пусть
— соответствующие этим интервалам вероятности. С каждым интервалом можно связать событие из некоторого дискретного множества. Так, предположим, что
Устремляя
Этот предел и служит взаимной информацией между сообщениями Рассмотрим теперь непрерывный ансамбль
и информацию между парой сообщений
где условные и безусловные ф. п. в. определяются соотношениями, аналогичными (2.1.8)-(2.1.11), в которых суммы заменены на интегралы, а вероятности — на ф. п. в. Каждое из количеств информации, определяемое соотношениями (2.2.27), (2.2.30) и (2.2.31), представляет собой случайную величину на соответствующем непрерывном ансамбле. Математическое ожидание
называется средней взаимной информацией между непрерывными ансамблями
называется средней взаимной информацией между непрерывными ансамблями
называется средней взаимной информацией между непрерывными ансамблями
называется средней взаимной информацией между парой непрерывных ансамблей Пример 2.2.4. Пусть
Эта функция зависит от пяти параметров
Параметр Для такого распределения вероятностей нетрудно вычислить величину средней взаимной информации. Используя в этом месте натуральные логарифмы и применяя формулу (2.2.32), ттолучпм
где использованы определения дисперсии и коэффициента корреляции:
Таким образом, средняя взаимная информация между двумя непрерывными совместно гауссовскими ансамблями (с. в.), имеющими коэффициент корреляции
Во всех приведенных выше определениях средней взаимной информации (2.2.32)-(2.2.35) некоторые ансамбли могут быть непрерывными, а другие — дискретными. В этом случае приведенные формулы сохраняются, если ф. п. в. рассматривать как обобщенные ф. п. в. Возможно также представить эти формулы и в виде, использующем дискретные распределения. Для этого интеграл по соответствующей переменной должен быть заменен суммой, а ф. п. в. - выражениями вида (2.2.15), (2.2.16) с соответствующими обобщениями на случай более двух переменных. В качестве примера приведем формулу для средней взаимной информации
Средняя взаимная информация между непрерывными или между непрерывными и дискретными ансамблями обладает многими из свойств, которые были раньше сформулированы для случая дискретных ансамблей. Так, теоремы 2.1.1 и 2.1.2 остаются справедливыми. Доказательства почти полностью повторяют соответствующие доказательства в дискретном случае. Читателю предлагается доказать указанные теоремы самостоятельно. В заключение этого параграфа — несколько замечаний о непрерывных источниках сообщений. Определение непрерывного источника (с дискретным временем) опирается на определение последовательности непрерывных ансамблей. Все, что было сказано о задании дискретных источников, переносится без существенных изменений на случай непрерывных источников. В частности, без изменений остается определение 1.1.2, в котором для задания непрерывного источника требуется согласованное задание всех
|
1 |
Оглавление
|