Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 6.4.4. Обратная теорема кодирования.Для описания области пропускной способности УШК потребуется некоторая специальная функция. Вначале мы введем эту функцию и изучим ее свойства. Пусть задан дискретный УШК без памяти с входным алфавитом X, выходными алфавитами Обозначим через множество всех ансамблей
В определении функции Как уже отмечалось выше, область пропускных способностей выпукла. Поэтому выпуклой должна быть и ее граница. В следующей лемме устанавливается выпуклость функции Лемма 6.4.2. Функция Доказательство. Для доказательства монотонного невозрастания достаточно заметить, что
Пусть зафиксировано
Множества
При этом определен ансамбль
Таким образом, из (6.4.12) следует, что ансамбль Введем теперь аналогичную функцию для последовательностей длины
где
и условные распределения
Лемма 6.4.3. Для любого положительного
Доказательство, Для доказательства леммы достаточно показать, что для любого ансамбля
Заметим, что из (6.4.14) и
причем последнее равенство вытекает из того, что
т. e. имеет место указанная выше независимость. Отсюда имеем
Кроме того,
где первое равенство следует из независимости ансамблей Положим теперь
Обозначим
где последнее неравенство следует из выпуклости функции
что и требовалось доказать. Рассмотрим теперь некоторый код Выберем распределения вероятностей
где
и обозначим через Лемма 6.4.4. Пусть
Доказательство. Обозначим через
Заметим, что вероятность ошибки второго декодера Из доказанной леммы вытекает, что пара скоростей
Из определения функции Заметим, однако, что множество Лемма 6.4.5. Пусть
Доказ ательство. Пусть
В соответствии с методом неопределенных множителей Лагранжа и теоремой Куна-Таккера значения функции
Таким образом, равенство (6.4.31), а следовательно и утверждение леммы, будет доказано, если показать, что для любого Пусть для некоторого фиксированного X максимум в правой части
Рис. 6.4.8. Типичный вид функции Выражение под знаком максимума в (6.4.33) выпукло вверх относительно распределения
где
По условию распределение удовлетворять соотношениям (6.4.34) и, следовательно, максимизировать правую часть (6.4.33). Из (6.4.35) следует, что, если для всех
то распределение Из леммы 6.2.3 следует, что найдется такое распределение Типичный вид функции
причем первое неравенство превращается в точное равенство, когда распределение Поэтому наименьшее значение
поэтому Пусть Теорема 6.4.1. (обратная теорема кодирования). Для произвольного дискретного УШК без памяти
где
|
1 |
Оглавление
|