Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
6.4.4. Обратная теорема кодирования.Для описания области пропускной способности УШК потребуется некоторая специальная функция. Вначале мы введем эту функцию и изучим ее свойства. Пусть задан дискретный УШК без памяти с входным алфавитом X, выходными алфавитами Обозначим через множество всех ансамблей
В определении функции Как уже отмечалось выше, область пропускных способностей выпукла. Поэтому выпуклой должна быть и ее граница. В следующей лемме устанавливается выпуклость функции Лемма 6.4.2. Функция Доказательство. Для доказательства монотонного невозрастания достаточно заметить, что
Пусть зафиксировано
Множества
При этом определен ансамбль
Таким образом, из (6.4.12) следует, что ансамбль Введем теперь аналогичную функцию для последовательностей длины
где
и условные распределения
Лемма 6.4.3. Для любого положительного
Доказательство, Для доказательства леммы достаточно показать, что для любого ансамбля
Заметим, что из (6.4.14) и
причем последнее равенство вытекает из того, что
т. e. имеет место указанная выше независимость. Отсюда имеем
Кроме того,
где первое равенство следует из независимости ансамблей Положим теперь
Обозначим
где последнее неравенство следует из выпуклости функции
что и требовалось доказать. Рассмотрим теперь некоторый код Выберем распределения вероятностей
где
и обозначим через Лемма 6.4.4. Пусть
Доказательство. Обозначим через
Заметим, что вероятность ошибки второго декодера Из доказанной леммы вытекает, что пара скоростей
Из определения функции Заметим, однако, что множество Лемма 6.4.5. Пусть
Доказ ательство. Пусть
В соответствии с методом неопределенных множителей Лагранжа и теоремой Куна-Таккера значения функции
Таким образом, равенство (6.4.31), а следовательно и утверждение леммы, будет доказано, если показать, что для любого Пусть для некоторого фиксированного X максимум в правой части
Рис. 6.4.8. Типичный вид функции Выражение под знаком максимума в (6.4.33) выпукло вверх относительно распределения
где
По условию распределение удовлетворять соотношениям (6.4.34) и, следовательно, максимизировать правую часть (6.4.33). Из (6.4.35) следует, что, если для всех
то распределение Из леммы 6.2.3 следует, что найдется такое распределение Типичный вид функции
причем первое неравенство превращается в точное равенство, когда распределение Поэтому наименьшее значение
поэтому Пусть Теорема 6.4.1. (обратная теорема кодирования). Для произвольного дискретного УШК без памяти
где
|
1 |
Оглавление
|