§ 6.4. Кодирование в широковещательных каналах

6.4.1. Постановка задачи.

В этом параграфе мы рассмотрим следующую ситуацию передачи информации по каналу (см. рис. 6.4.1). Имеется один передатчик (кодер) и два независимо работающих приемника (декодера), на входы которых поступают выходные сигналы разных каналов. На передатчик поступают сообщения от трех источников которые он должен передать приемникам 1 и 2 так, чтобы приемник 1 мог восстановить с произвольно малой вероятностью ошибки сообщения источников и а приемник 2 — сообщения источников При этом сообщения источников будем называть частной информацией для приемников 1 и 2 соответственно, а сообщения источника общей информацией. Такую ситуацию передачи будем называть передачей по широковещательному каналу (Мы ограничиваемся здесь рассмотрением только широковещательных каналов с двумя приемниками. Некоторые обобщения на случай большего чем 2 числа приемников приведены в задачах.)

Передача сигналов по ШК определяется двумя каналами с общим входным алфавитом X, выходными алфавитами и матрицами переходных вероятностей В дальнейшем мы будем рассматривать только дискретные ШК без памяти, такие ШК, для которых алфавиты конечны и для любых последовательностей

Дискретный широковещательный канал без памяти будет обозначаться символом при этом каналы будут называться составляющими широковещательного канала.

Один из возможных методов передачи по ШК состоит в разделении времени, когда в течение некоторого отрезка времени осуществляется передача одному приемнику, а в течение другого отрезка времени — второму. Другая возможность состоит в том чтобы вести передачу обоим приемникам в одно и то же время.

Определение 6.4.1. Кодом длины со скоростями для называется совокупность причем множества а также множества не пересекаются при и соответственно.

Рис. 6.4.1. Широковещательный канал,

Последовательности называются кодовыми словами кода для ШК, а множества — решающими областями для приемников 1 и 2 соответственно.

Кодирование кодом осуществляется следующим образом. Если на выходе источника появляется сообщение с на выходе источника сообщение с номером и на выходе источника сообщение с номером то по ШК передается кодовое слово Принтом каждое из чисел представляет собой количество элементов в множествах сообщений источников их, соответственно. Числа представляют собой скорости передачи частной информации для приемников 1 и 2, а число скорость передачи общей информации. Работа приемников 1 и 2 (декодирование) при передаче по ШК с помощью кода осуществляется следующим образом. Если то приемник 1 выносит решение о том, что на выходе источника появилось сообщение с номером а на выходе источника сообщение с номером Приемник 2 работает аналогично, используя решающие области

Качество передачи с помощью кода характеризуется двумя вероятностями ошибок: вероятностями принятия неправильного решения приемниками 1 и 2 соответственно.

При этом

Определение 6.4.2. Тройка скоростей называется допустимой для если для любых найдется такое, что для всех существует код , с вероятностями ошибок декодирования и

Рис. 6.4.2. Передача по ШК в ситуации

Множество , состоящее из всех допустимых троек скоростей, называется областью пропускной способности ШК.

Замечание. В определении области пропускных способностей для ШК мы использовали средние вероятности ошибок декодирования. Однако, в отличие от КМД, в случае передачи по ШК можно показать, что из допустимости тройки скоростей относительно средних вероятностей ошибок следует ее допустимость и относительно максимальных по вероятностей ошибок.

В случае передачи по ШК, так же как и в ранее рассмотренных задачах, возможно использование метода разделения времени, из которого следует, что, если тройки скоростей допустимы, то допустима и тройка скоростей такая, что при любом Поэтому область пропускной способности ШК является выпуклой областью неотрицательного октаната трехмерного пространства.

Основной теоретико-информационной задачей при рассмотрении кодирования в ШК является характеризация его области пропускной способности. К сожалению, для произвольного дискретного канала без памяти эта задача в настоящее время не решена. Имеются решения лишь для некоторых частных подклассов широковещательных каналов, один из которых — подкласс так называемых ухудшающихся каналов — мы и рассмотрим в этом разделе (определение ухудшающегося канала будет дано ниже).

В общей задаче кодирования для ШК часто оказывается по- лезным рассматривать два частных случая. Предположим, что источник в схеме передачи по ШК отсутствует (см. рис. 6.4.2). При этом передатчик должен реализовывать передачу только частных информаций приемникам 1 и 2. Такую ситуацию передачи по ШК будем обозначать через

Определение 6.4.3. Кодом длины со скоростями для передачи по ситуации называется совокупность причем множества а также множества и не пересекаются при соответственно.

Рис. 6.4.3. Передача по ШК в ситуации

Вероятности ошибок декодирования в ситуации определяются соотношениями (6.4.1) и (6.4.2), если в них положить и опустить индекс

Определение 6.4.4. Пара скоростей называется допустимой для ШК в ситуации если для любых найдется такое, что для всех существует код с вероятностями ошибок декодирования с Множество состоящее из всех допустимых пар скоростей называется областью пропускной способности для ШК в ситуации

Второй частный случай получается, если предположить, что отсутствует источник (см. рис. 6.4.3). При этом передатчик должен реализовывать передачу частной информации приемнику 1 и общей информации приемникам 1 и 2. Такую ситуацию передачи по ШК будем обозначать через (Можно, конечно рассмотреть ситуацию, когда отсутствует источник а не однако нетрудно видеть, что эта ситуация аналогична ситуации

Определение 6.4.5. Кодом длины со скоростями для передачи по в ситуации называется совокупность

причем множества и а также множества не пересекаются при соответственно.

Вероятности ошибок декодирования в ситуации определяются соотношениями и (6.4.2), если в них положить и опустить индекс Область пропускной способности в ситуации определяется аналогично общей ситуации и ситуации

Заметим, что и являются выпуклыми подмножествами неотрицательных квадрантов плоскостей с координатами и соответственно. В дальнейшем общую ситуацию передачи по ШК (рис. 6.4.1) будем обозначать через и соответствующую ей область пропуксной способности — через Нетрудно видеть, что и являются сечениями области плоскостями соответственно.