ОПЕРАЦИИ НАД НЕЧЕТКИМИ МНОЖЕСТВАМИ

Ниже приведены некоторые из основных операций, которые можно осуществлять над нечеткими множествами.

1. Дополнение нечеткого множества  обозначается символом (или иногда ) и определяется следующим образом:

                                   (3.33)

Операция дополнения соответствует логическому отрицанию. Так, например, если  — название нечеткого множества, то «не » понимается как  (см. пример 3.8).

2. Объединение нечетких множеств  и  обозначается  (или, что более привычно, ) и определяется следующим образом:

                         (3.34)

Объединение соответствует логической связке «или». Так, если, например,  и  — названия нечетких множеств, то запись « или » понимается как .

3. Пересечение  и  обозначается  и определяется следующим образом:

                         (3.35)

Пересечение соответствует логической связке «и», т. е.

                                                             (3.36)

Замечание 3.7. Следует иметь в виду, что

и

— не единственные операции, посредством которых можно определить операции объединения и пересечения (по этому вопросу см. [25] и [26]). В связи с этим важно отметить, что если операция «и» определяется с помощью операции min, как в (3.36), то она является «жесткой» в том смысле, что в ней недостаточно учитываются функции принадлежности обоих множеств. В противоположность этому операция «и», определяемая с помощью арифметического произведения, как в (3.37), является «мягкой». Какое из этих двух, а возможно, и других определений является наиболее подходящим, зависит от смысла, вкладываемого в эту операцию в каждом конкретном случае.

4. Произведение  и  обозначается  и определяется формулой

                                        (3.37)

Таким образом, любое нечеткое множество , где  — положительное число, следует понимать так:

                                   (3.38)

Аналогично, если  — любое неотрицательное число, такое, что , то

                                       (3.39)

Частными случаями операции возведения в степень [см. (3.35)] являются операция концентрирования, определяемая следующим образом

                                             (3.40)

и операция растяжения

                                             (3.41)

Как будет показано в §6, операции концентрирования и растяжения полезны в представлении лингвистических неопределенностей.

Пример 3.8. Если

                                         (3.42)

            (3.43)

5. Если  — нечеткие подмножества универсального множества , а  — неотрицательные весовые коэффициенты, сумма которых равна 1, то выпуклой комбинацией нечетких множеств  называется нечеткое множество  с функцией принадлежности вида

                                        (3.44)

где знак + означает арифметическое суммирование. Понятие выпуклой комбинации полезно в представлении таких лингвистических неопределенностей, как существенно, типично и т. п. [27].

6. Пусть  — нечеткие подмножества универсальных множеств соответственно. Декартово произведение этих подмножеств обозначается  и определяется как нечеткое подмножество множества  с функцией принадлежности

.                   (3.45)

Таким образом [см. (3.52)],

   (3.46)

Пример 3.9. Если ,  и , то

    (3.47)

7. Оператор увеличения нечеткости используется обычно для преобразования обычного (не нечеткого) множества в нечеткое или для увеличения нечеткости нечеткого множества. Так, результатом действия оператора увеличения нечеткости  на нечеткое подмножество  множества  является нечеткое подмножество  вида

                                       (3.48)

где нечеткое множество  является ядром оператора , т. е. результатом действия оператора  на одноточечное множество :

                                                  (3.49)

  — произведение (в смысле определения (3.39)) числа  и нечеткого множества , a — знак объединения семейства нечетких множеств , . В сущности, выражение (3.48) аналогично интегральному представлению линейного оператора, в котором  играет роль импульсной переходной функции.

Пример 3.10. Пусть ,  и  определены следующий образом:

                                    (3.50)

Тогда

         (3.51)

Операция увеличения нечеткости играет важную роль в определении таких лингвистических неопределенностей, как более или менее, слегка, несколько (в какой-то степени), много и т. д. Например, если класс положительных чисел обозначить символом: положительный, тогда словосочетание слегка положительный является названием нечеткого подмножества множества действительных чисел, функция принадлежности которого имеет вид, показанный на рис. 3.1. В этом случае нечеткое понятие слегка есть оператор увеличения нечеткости, который преобразует нечеткое множество положительный в нечеткое множество слегка положительный. Однако не всегда возможно выразить результат действия оператора увеличения нечеткости в форме (3.48), причем оператор слегка как раз и представляет такой случай. Более подробное обсуждение этого и других вопросов, связанных с этим оператором, можно найти в [27].

Рис. 3.1. Функции принадлежности значений положительный и слегка положительный