5.2. Проекция вектора.
Проекцией точки 
на прямую 
(рис. 6) называется точка 
, в которой пересекаются
прямая с
плоскостью, перпендикулярной к , проходящей через точку .
Рис.
6 Рис. 7
Зададим направленную прямую (рис. 7) и вектор 
. Проекцией, вектора на направленную
прямую называется
вектор 
, где
- соответственно
проекции точек ,
на (см. рис. 7).
Проекцию вектора 
на направленную прямую будем обозначать
символом 
.
При данной направленной прямой проекции любых векторов 
на лежат в и направлены, как , либо - в
противоположную сторону.
Впрочем, если вектор нулевой или
перпендикулярен к ,
то его проекция на есть,
очевидно, нулевой вектор, не имеющий направления.
Наряду с проекцией вектора на направленную
прямую , которая
представляет собой вектор, введем еще новое понятие — числовую проекцию вектора
на
направленную прямую . Это есть число, обозначаемое нами
символом 
(без
стрелки) и определяемое следующим образом.
Числовой проекцией вектора на направленную
прямую называется
произведение длины вектора на косинус угла 
между вектором и направлением :
.
Отметим следующие случаи: если 
или если 
, то 
; если 
и 
, то числовая проекция
положительна (
)
и равна, очевидно, длине вектора : 
;
при этом сам вектор направлен так же, как ; если же и 
, то числовая
проекция отрицательна (
) и равна, очевидно, длине вектора , взятой со знаком
минус:
,
при этом сам вектор направлен в сторону,
противоположную .
Справедливо очевидное равенство,
выражающее связь между проекцией вектора на направление и его числовой проекцией на :
.
Здесь 
- единичный вектор, направленный, как .
Если векторы и 
лежат на направленной прямой , то их можно
записать в виде
, 
,
где - единичный вектор, направленный так
же, как , а
и 
- числа. Эти числа
могут быть положительными, отрицательными или нулем.
Справедливы очевидные равенства
, (1)
показывающие, что сложение и
вычитание указанных векторов сводится к сложению или вычитанию соответствующих
чисел , .
