Определение требуемой передаточной функции

Имеется несколько типов передаточных функций с различными свойствами, со своими достоинствами и недостатками. Мы сосредоточим свое внимание на трех наиболее известных типа передаточных функций — Батгерворта, Чебышева и Бесселя. Для большинства случаев их бывает достаточно. Будут рассмотрены и другие типы фильтров, но за более подробными сведениями о них лучше обратиться к специальной литературе.

Есть несколько способов определения наиболее подходящей передаточной функции. Можно выбрать передаточную функцию, исходя из приведенного ниже описания фильтров различных типов. Можно также выбрать ее по графикам необходимой зависимости коэффициента передачи или фазы от частоты, или по переходной характеристике. Описание более формализованных подходов можно найти в литературе.

Рассматриваемые далеее типы фильтров считаются нормированными, т.е. их коэффициент передачи в полосе пропускания равен 1 (0 дБ), а частота среза — 1 рад/с. Для расчетов других фильтров (полосовых, верхних частот и т.д.) необходимо провести операции преобразования частот и масштабирования, которые рассмотрены в следующем разделе.

Фильтры Батгерворта (с максимально плоской характеристикой).

Эти фильтры отличаются наибольшей равномерностью АЧХ как в полосе пропускания, так и в полосе подавления (рис. 6.46). Поскольку на АЧХ отсутствуют пульсации (максимумы и минимумы), каждое значение коэффициента передачи появляется на конкретной частоте только один раз. Такое свойство называется монотонностью характеристики фильтра.

Спад АЧХ за полосой пропускания составляет 20n дБ/декада, где — порядок фильтра.

Максимально плоская АЧХ в полосе пропускания достигается за счет ухудшения линейности фазовой характеристики. Ее нелинейность приводит к фазовым искажениям, так как сигналы различных частот имеют разное время задержки. На переходной характеристике фильтра при этом появляется выброс и "звон" на вершине выходного импульса, величина которых возрастает при повышении порядка фильтра. Все корни передаточной функции ФНЧ Батгерворта являются полюсами, т.е. среди них нет нулей.

Фильтр Батгерворта можно использовать как хороший фильтр общего назначения, поскольку он имеет максимально плоскую АЧХ, умеренную фазовую нелинейность, приемлемую переходную характеристику и достаточно крутой спад АЧХ вне полосы пропускания. Эти свойства делают его одним из наиболее широко применяемых фильтров.

Фильтры Чебышева (фильтр равных пульсаций).

Фильтр Чебышева (рис. 6.47) характеризуется крутым спадом АЧХ и немонотонностью коэффициента передачи в полосе пропускания. Крутизна спада АЧХ достигается ценой появления существенных пульсаций на характеристике в полосе пропускания. Их величина лежит между уровнями 0.1 и 3 дБ.

Более крутой спад приводит и к увеличению нелинейности фазовой характеристики в полосе пропускания. Следовательно, возрастают и величина перерегулирования, и звоны на вершине выходного перепада. Фильтры Чебышева также не содержат нулей в передаточной функции.

Фильтры Чебышева используются в тех случаях, когда требуется наиболее крутой спад АЧХ за частотой среза. Фазовую характеристику можно сделать более линейной, дополнив фильтр фазовращателем, но при этом увеличивается общее время задержки.

Фильтры Бесселя (фильтры с линейной фазовой характеристикой или фильтры Томсона).

Фильтры Бесселя (см. рис. 6.48) имеют фазовую характеристику, максимально близкую к идеальной. Благодаря линейной фазовой характеристики, сигналы всех частот в полосе пропускания имеют одинаковые временные задержки. Однако это характерно только для фильтра Бесселя низших частот, другие фильтры Бесселя — ПФ, ППФ, ФВЧ — таким свойством не обладают (линейность фазовой характеристики ФНЧ Бесселя не сохраняется при операциях преобразования шкалы частот для получения фильтров с другими АЧХ).

(см. скан)

Рис. 6.46. Характеристики фильтра Баттерворта: а) амплитудная, б) переходная.

(см. скан)

Рис. 6.47. Характеристики фильтра Чебышева: а) амплитудная (неравномерность 0,1 дБ), б) амплитудная (неравномерность 0,5 дБ).

(см. скан)

Рис. 6.47 (продолжение). Характеристики фильтра Чебышева: г) переходная характеристика (перерегулирование 0,1 дБ), д) переходная характеристика (перерегулирование 0,5 дБ).

(см. скан)

Рис. 6.48. Характеристики фильтра Бесселя: а) частотная, б) переходная

Переходная характеристика фильтра Бесселя "имеет малую величину перерегулирования. Это особенно важно при работе с импульсными сигналами, которые надо передавать с минимальными искажениями. Хорошая фазовая характеристика фильтров этого типа достигается ценой ухудшения амплитудной характеристики. АЧХ не является максимально плоской в полосе пропускания и не имеет крутого спада. При этом она монотонна. Передаточные функции фильтров Бесселя содержат только полюса.