6.1. Передаточные функции фильтров

В одной главе невозможно подробно изложить основы теории фильтров, но мы постараемся в данном разделе дать ее основные положения и выводы. Здесь и далее 5 означает оператор Лапласа,

Активные RC-фильтры принадлежат к классу линейных схем с сосредоточенными параметрами. Передаточная функция линейной цепи порядка с сосредоточенными параметрами описывается следующим выражением (порядок цепи определяется степенью полинома знаменателя):

где — полином числителя, — полином знаменателя, — вещественные коэффициенты, — передаточная функция схемы.

Заметим, что для реальных схем

Полиномы можно разложить на множители первого и второго порядков с вещественными коэффициентами. Следовательно, нужную характеристику можно получить, включив последовательно несколько фильтров первого и второго порядков. Рассмотрим далее передаточные функции таких фильтров.

1. Характеристика ФНЧ первого порядка (рис. 6.2). Эта характеристика описывается простым выражением:

где — коэффициент передачи на постоянном токе, — частота полюса, которая в данном случае равна частоте, на которой коэффициент передачи снижается на 3 дБ по сравнению с

Рис. 6.2. Частотная характеристика ФНЧ первого порядка.

2. Характеристика ФВЧ первого порядка (рис. 6.3). Эта харакгеристика также довольно простая:

где — коэффициент передачи на высоких частотах, — частота полюса, равная частоте, на которой коэффициент передачи снижается на 3 дБ по сравнению с

3. Характеристика фазового фильтра (ФФ) первого порядка (рис. 6.4). Коэффициент передачи этого фильтра имеет постоянное значение во всем частотном диапазоне, изменяется лишь вносимый фазовый сдвиг (временная задержка).

Характеристика фазового фильтра первого порядка:

где — модуль коэффициента передачи, — частота, на которой фазовый сдвиг равен 90°.

Рис. 6.3. Частотная характеристика ФВЧ первого порядка.

Рис. 6.4. Частотная характеристика ФФ первого порядка.

4. Характеристика ФНЧ второго порядка (рис. 6.5). Эта характеристика имеет вид:

где — коэффициент передачи на постоянном токе, — частота полюса, — добротность фильтра.

При на амплитудно-частотной характеристике (АЧХ) появляется выброс на частоте:

и значение коэффициента передачи на этой частоте равно:

причем частота среза по уровню -3 дБ составляет:

Для ФНЧ, характеристика которого показана на рис. 6.5, при малых (т.е. ) полюса передаточной функции вещественные, и его АЧХ оказывается плоской. Выражение для характеристики второго порядка можно разложить на два сомножителя первого порядка. Когда же превышает на АЧХ появляется "выпуклость". Амплитудно-частотная характеристика схем с большой добротностью имеет значительный выброс.

Рис. 6.5. Частотная характеристика ФНЧ второго порядка.

5. Характеристика ФВЧ второго порядка (рис. 6.6). Эта характеристика описывается выражением:

где — коэффициент передачи на высокой частоте, — частота полюса, — добротность фильтра.

Максимальный коэффициент передачи (в точке выброса — прим. ред.) при больших значениях равен .

Рис. 6.6. Частотная характеристика ФВЧ второго порядка. Выброс на АЧХ возникает при на частоте:

и значение коэффициента передачи при этом равно:

Частота среза по уровню —3 дБ равна:

Рис. 6.7. Частотная характеристика ПФ второго порядка.

6. Характеристика ПФ второго порядка (рис. 6.7). Эта характеристика описывается выражением:

ее можно представить в другом виде:

где — коэффициент передачи на центральной частоте , — добротность фильтра.

Заметим, что , где — частоты, на которых коэффициент передачи снижается на -3 дБ по сравнению с

Можно показать, что:

Ширина полосы пропускания по уровню -3 дБ составляет:

При малых добротностях знаменатель передаточной функции можно разложить на два сомножителя с вещественными коэффициентами (т.е. передаточная функция может быть представлена в виде произведения двух функций первого порядка — прим. ред.), поэтому АЧХ и фазочастотная характеристика (ФЧХ) на рис. 6.7 выглядят достаточно пологими. При полюса передаточной функции становятся комплексными. С увеличением полоса пропускания сужается и характеристика фильтра становится более избирательной.

7. Характеристика ППФ (РФ или фильтра-"пробки") второго порядка (рис. 6.8). Передаточная функция описывается выражением:

где — коэффициент передачи на постоянном токе и на высокой частоте, — центральная частота полосы подавления, — добротность фильтра.

Рис. 6.8. Частотная характеристика ППФ.

Приведенное выше выражение можно записать по-другому:

т.е. в виде разности постоянного коэффициента передачи и коэффициента передачи ПФ.

Частоты среза по уровню -3 дБ такие же, как у полосового фильтра:

Ширина полосы подавления по уровню -3 дБ равна

8. Характеристика ФФ второго порядка (рис. 6.9). Характеристика фазового фильтра второго порядка описывается выражением:

Его можно переписать в следующем виде:

т.е. постоянный коэффициент минус удвоенная передаточная характеристика полосового фильтра.

Рис. 6.9. Частотная характеристика ФФ второго порядка.