10. Функциональные преобразователи

В этой главе рассматриваются схемы, реализующие различные функциональные зависимости выходного напряжения от входного: гиперболическую, квадратичную, извлечения квадратного корня, а также синуса, косинуса и арктангенса. Некоторые из них можно использовать, например, для линеаризации характеристик термопарных датчиков или других источников сигналов с хорошо известной выходной характеристикой. Схемы сгруппированы по принципам построения, а не по функциональным зависимостям, так как все бесконечное множество функций может быть реализовано всего несколькими стандартными приемами.

10.1. Функциональные преобразователи с аналоговыми умножителями

Схемы для возведения в квадрат, извлечения квадратного корня и получения гиперболической (обратно пропорциональной) зависимости строятся на основе умножителя (рис. 10.1). Под умножителем на всех рисунках подразумевается только собственно перемножающий элемент. В составе промышленных микросхем умножителей обычно содержатся дополнительные узлы и выводы, например, выходной ОУ, входы для деления и дифференциальные входы, благодаря которым расширяются возможности их применения. Изображенные на рис. 10.1 схемы, как правило, можно построить с использованием одной единственной микросхемы умножителя без включения дополнительного ОУ.

С помощью умножителей можно реализовать довольно сложные функциональные зависимости. Например, любую непрерывную однозначную функцию можно достаточно точно аппроксимировать полиномом . Переменные можно синтезировать с помощью умножителей, а затем просуммировать с постоянными коэффициентами Очевидно, чем больше слагаемых использовано в степенном ряду (т.е., чем выше степень полинома и), тем точнее можно аппроксимировать требуемую функцию. Подробнее об умножителях и сумматорах см. гл. 9.

Рис. 10.1. Схемы функциональных преобразователей на основе умножителей: а) квадратичный, б) гиперболический, в) извлечение квадратного корня.

Умножители намного дороже и сложнее сумматоров. Поэтому при. использовании данного способа необходимо свести их число к минимуму. Приведем список возможных значений и при различном числе умножителей в схеме:

один умножитель:

два умножителя:

три умножителя: (но не ).

Выбираемое значение и является компромиссом между требуемой точностью и реальной жизнью, между желаниями и возможностями. В идеале неплохо было бы использовать очень большое значение и. Однако при этом потребуются несколько умножителей и тщательно сбалансированных схем сумматоров с точно согласованными резисторами. Реальные

умножители не идеальны, они дороги и часто требуют подстройки. В результате схема значительно усложнится и потребует введения многочисленных регулировок. Кроме того, в такой сложной схеме возникает множество новых источников погрешностей. Другими словами, стремление к большей точности увеличивает сложность, которая, в свою очередь, приводит к появлению дополнительных источников погрешностей, а они-то как раз и снижают точность. Поэтому на практике обычно ограничиваются тремя умножителями, т.е. полиномом восьмого порядка. Этого более чем достаточно для аппроксимации большинства функций с точностью около 1%.

На рис. 10.2 показаны схемы для синтеза полиномов до четвертого порядка включительно с использованием всего одного или двух умножителей.

Рис. 10.2. Синтез полиномов: а) второго порядка, б) третьего порядка, в) четвертого порядка.

(см. скан)

Рис. 10.3. Функция косинуса.

Пока мы рассмотрели только общий принцип синтеза полиномов. Для построения конкретной схемы нам необходимо определить коэффициенты Здесь возможны два случая. В первом из них нужная функция представлена в математической форме, например или Во втором случае функция задана набором эмпирических значений для и искомая кривая должна соответствовать этим значениям.

В случае математической функции, например область изменения значений равна радиан (рис. 10.3). Напомним, что любая функция может быть разложена в ряд Тейлора:

где есть производная по Для функции cos(x) при х = 0 имеем:

Сохраняя члены до четвертого порядка, получим:

Если изменяется в пределах между 0 и переменные х и у необходимо масштабировать.

Соотношение между и

Соотношение между

Подставляя эти выражения для х и у в полином четвертого порядка для получим:

откуда

К сожалению, определение коэффициентов полинома из разложения Тейлора не обеспечивает наиболее точной аппроксимации функции полиномом порядка. Более корректная аппроксимация получается при представлении функции суммой полиномов Чебышева с последующим усечением этой суммы. Проектирование преобразователя при этом усложняется и требует довольно громоздких вычислений. За подробностями отсылаем читателя к упомянутой в списке литературы книге Вонга и Отта (), где приведена весьма полезная для расчетов программа на Фортране.

Довольно часто аппроксимируемая функция не задана математически, а существует только в виде графика или таблицы. Такая ситуация часто возникает, например, при линеаризации характеристик различных датчиков. Для получения нужной функциональной характеристики преобразователя вначале необходимо аппроксимировать экспериментально полученную зависимость полиномом порядка, т.е. представить ее в виде:

Для проведения такой операции необходимо иметь (и экспериментальную точку (рис. 10.4) с тем, чтобы можно было получить независимое линейное уравнение, причем и обычно бывает более 10.

Рис. 10.4. Построение кривой по экспериментальным данным.

В результате решения полученной системы уравнений определяются коэффициенты полинома.

Чем больше экспериментальных точек (т.е. чем больше значение и), тем точнее искомый полином соответствует характеристике исследуемого устройства. После того, как характеристика аппроксимирована, можно попытаться отбросить члены со старшими степенями аргумента, ограничившись полиномом меньшего порядка, и построить соответствующий функциональный преобразователь. Однако прямое усечение (отбрасывание старших степеней) не вполне корректно. Вместо этого лучше преобразовать экспериментально полученную функцию в сумму полиномов Чебышева, которую уже можно усечь; такой прием существенно повышает точность аппроксимации. Если читатель захочет подробнее ознакомиться с необходимыми расчетами, мы вновь отсылаем его к уже упоминавшейся книге Вонга и Отта (гл. 5, "Степенные ряды и функциональные генераторы") и к распечаткам фортрановских программ, которые эти расчеты производят.