§ 14. Доказательство теоремы 13.1

Замена переменных. Для того чтобы использовать лемму 4.3, сделаем линейную замену переменных

которая в терминах координат векторов определяется формулами

где означает суммирование по от до как и в (13.8), а через 2 и обозначается сумма по остальным

целым значениям из отрезка так что

Решение системы (13.3) удовлетворяет условиям (13.7), если соответствующий вектор определенный по (14.1), удовлетворяет условиям

Чтобы пояснить значение преобразования (14.1) и записать возникающую систему дифференциальных уравнений для мы представим ниже отображение (14.1) в виде произведения двух отображений

Это разложение основано на том факте, что если заменить в первой из формул (14.2) на (и записать этот новый множитель под знаком суммы то эта формула примет вид

Замена переменных определится следующим образом:

Система (13.3) переходит при этом в систему

где Пусть, наконец, такая диагональная матрица, что отображение записанное в координатах, имеет такой вид:

Если представить получающуюся систему дифференциальных уравнений в виде

то ее линейная часть определяется соотношениями

где это матрица, которая получается из после замены единиц, стоящих под диагональю, на ; см. Последнюю часть в (14.9) легко получить, если применить преобразование в два шага:

Заменим, наконец, независимую переменную на положив

Тогда (14.8) перейдет в систему

причем линейные части этих уравнений имеют следующий вид:

Предварительное доказательство существования. Предположим, что при больших определена функция такая, что

Последнее условие эквивалентно неравенству поскольку Когда достаточно мало, к системе (14.11) можно применить лемму 4.3, если за принять вектор с компонентами за у принять вектор с компонентами и за принять вектор с компонентами при Из (14.12), очевидно, вытекает существование такой постоянной что или в соответствии с тем, будет ли или следовательно, или в соответствии с равенствами (т. е. или (т. е. если мало, велико.

Таким образом, в силу леммы 4.3, из (14.13) и (14.14) вытекает следующее: если заданные постоянные, не равные нулю одновременно, то существует такое решение

системы (14.11), что при

В действительности мы можем при этом указать множество из начальных условий для такого при если достаточно велико, достаточно маленькие числа.

Нормы Чтобы завершить доказательство, остается показать, что из предположений (13.11), (13.12) вытекают неравенства (14.13), (14.14) и что решение системы (14.8), удовлетворяющее (14.15), одновременно удовлетворяет системе (14.3). С этой целью мы прежде всего докажем существование таких положительных чисел с, с, что для больших

В силу (14.2) норма равна где и максимум берется по всем значениям Из (13.6) вытекает, что а в силу (13.10), поэтому при Этим доказана первая часть соотношений (14.16).

Из разложения матрицы при в произведение невырожденных матриц видно, что существует матрица Обратное отображение

как легко видеть из равенств [см. (14.5) и (14.7)], имеет вид

Следовательно, при больших норма ограничена снизу и сверху положительной постоянной, умноженной на где Так как, в силу (13.6), неравенства (14.6) полностью доказаны.

Завершение доказательства. В силу (13.11)

Поэтому, в силу (14.16), имеем

Следовательно, из (13.12) вытекает, что неравенства (14.13) и (14.14) имеют место, если и потому система (14.8) имеет решение удовлетворяющее (14.15).

Из первой части (14.9) вытекает, что соответствующие уравнения в (14.8) имеют вид

так что, в силу (14.18),

где есть координата вектора Поэтому

в силу (13.11). Из (14.16) и ограниченности при вытекает, что

Следовательно, при

Тем самым доказана первая часть (14.3), а вместе с тем и вся теорема 13.1.