§ 3. Теоремы Штурма

В этом параграфе мы будем рассматривать только уравнение вида (2.1) с вещественными непрерывными коэффициентами Под «решением» мы будем понимать «вещественное, нетривиальное (т. е. решение». Нас будет интересовать множество нулей решения и Для изучения этих нулей часто оказывается полезным преобразование Прюфера (2.42), поскольку и тогда и только тогда, когда

Лемма 3.1. Пусть — вещественное решение уровнения (2.1) при где вещественны и непрерывны. Пусть функция и имеет в точности нулей при Предположим, непрерывная функция, определенная равенством (2.42), Тогда при

Доказательство. Заметим, что в той точке где т. е. где производная в силу (2.43). Следовательно, функция возрастает в окрестности точек, где для некоторого целого Отсюда следует, что если то при а также что если при Тем самым лемма доказана.

В теоремах этого параграфа будут рассматриваться два уравнения

где функции вещественны и непрерывны на интервале и

В этом случае уравнение (3.12) называется мажорантой Штурма для (3.11) на а уравнение (3.14) — минорантой Штурма для (3.12). Если дополнительно известно, что соотношения

или

выполняются в некоторой точке то уравнение (3.12) называется строгой мажорантой Штурма для (3.11) на

Теорема 3.1 (первая теорема сравнения Штурма). Пусть коэффициенты уравнения (3.17) непрерывны на интервале и пусть уравнение (3.12) является мажорантой Штурма для (3.11). Предположим, что функция является решением уравнения (3.10 и имеет точно нулей при а функция удовлетворяет уравнению (3.12)

при Выражение в правой (соответственно левой) части неравенства (3.4) при полагается равным {соответственно если частности, соотношение (3.4) справедливо при Тогда имеет при по крайней мере нулей. Более того, имеет по

крайней мере нулей при если при в (3.4) имеет место строгое неравенство или если уравнение (3.12) является строгой мажорантой Штурма для (3.11) при

Доказательство. В силу (3.4) можно определить при лару непрерывных функций с помощью соотношений

Тогда справедливы аналоги соотношения (2.43):

Поскольку непрерывные функции гладким образом зависят от решения системы (3.6) однозначно определяются своими начальными условиями. Из (3.2) следует, что при и всех Поэтому последняя часть (3.5) и следствие III.4.2 означают, что

В частности, из следует, что пп и первая часть теоремы вытекает из леммы 3.1.

Чтобы доказать последнюю часть теоремы, предположим вначале, что при в (3.4) имеет место строгое неравенство. Тогда Обозначим через решение уравнения (3.62), удовлетворяющее начальному условию так что Поскольку решение уравнения (3.62) однозначно определяется начальными условиями, при Неравенство, аналогичное (3.7), означает, что и потому Следовательно, имеет нулей при

Рассмотрим теперь тот случай, когда в (3.4) имеет место равенство, но в некоторой точке из выполняется либо либо (3.32). Запишем (3.62) в виде

где

Если доказываемое утверждение неверно, то из уже рассмотренного случая следует, что при Поэтому при Так как только в нулях функции то отсюда следует, что при Следовательно, если при некотором то т. е. Если не выполняется ни при каком из отрезка то при

некотором имеет место (3.32), и потому (3.32) справедливо на некотором подинтервале из Но тогда на этом интервале и потому Однако это противоречит условию Доказательство закончено.

Следствие 3.1 (теорема Штурма о разделении нулей). Пусть уравнение (3.12) является мажорантой Штурма для (3.11) на интервале и пусть вещественные решения уравнений Пусть обращается в нуль в двух точках интервала Тогда имеет по крайней мере один нуль на В частности, если вещественные линейно независимые решения уравнения то нули функции разделяют нули функции и разделяются ими.

Заметим, что последнее утверждение этой теоремы имеет смысл, поскольку нули функций не имеют на предельных точек; см. Кроме того, их не могут иметь общего нуля так как в противном случае в силу того, что решения уравнения (3.11) единственны, где (так что не являются линейно независимыми).

Упражнение [Другое доказательство теоремы Штурма о разделении нулей, когда Предположим, что при и утверждение неверно: например, при Умножая (3.11), где на а (3.12), где на вычитая и интегрируя по получаем

где с выводом формулы (2.9). Это означает, что поэтому при Сведите случай к случаю с помощью приема, используемого ниже при доказательстве следствия 6.5.

Упражнение Пусть в дифференциальном уравнении

функция вещественна, непрерывна и такова, что Если решение, имеющее два нуля то Пусть непрерывная при функция и при Покажите, что если вещественное решение уравнения (3.8), то нули функции образуют последовательность для которой при Проверьте, что вещественные решения и уравнения (1.17) имеют не более одного нуля при если и эти решения имеют бесконечно много нулей при если В последнем случае множество нулей имеет две предельные точки

(d) Рассмотрите уравнение Бесселя

где вещественный параметр. Вариация постоянных переводит уравнение (3.9) в уравнение

Покажите, что нули вещественного решения уравнения (3.9) образуют при такую последовательность что при

Теорема 3.2 (вторая теорема сравнения Штурма). Пусть выполнены условия первой части теоремы 3.1 и функция имеет точно нулей при Тогда соотношение (3.4) выполняется при [где выражение в правой (соответственно левой) части (3.4) при полагается равным если (соответственно, Кроме того, при в (3.4) имеет место строгое неравенство, если выполнены условия последней части теоремы 3.1.

Доказательство этого утверждения содержится по существу в доказательстве теоремы 3.1, если заметить, что из предположения о числе нулей функции вытекает последнее неравенство в следующей цепочке: Аналогично, в предположениях последней части теоремы доказательство теоремы 3.1 дает неравенство