Глава V. Зависимость от начальных условий и параметров

§ 1. Предварительные замечания

Пусть на открытом -множестве задана вектор-функция обладающая следующим свойством: если точка то задача Коши

имеет единственное решение определенное на некотором максимальном -интервале где зависят от . В этой главе мы рассмотрим свойства гладкости (т. е. свойства непрерывности и дифференцируемости решения .

Часто встречается более общая ситуация, когда вместо одной задачи (1.1) задается некоторое семейство задач Коши

зависящее от множества параметров причем для каждого фиксированного задача (1.2) имеет единственное решение В большинстве случаев вопрос о зависимости решений задачи (1.1) от может быть сведен к вопросу о зависимости от и 2 решений семейства задач Коши (1.2) при фиксированном начальном условии обратно, вопрос о зависимости решений задач (1.2) от может быть сведен к вопросу о гладкости решений такой задачи Коши, в которой нет зависимости от внешнего параметра Первое сведение осуществляется заменой переменных превращающей (1.1) в задачу

в которой значения можно рассматривать как множество параметров (при фиксированном начальном условии Второе (обратное) сведение получается заменой (1.2) задачей Коши

Для -мерного вектора в которой уже нет внешнего параметра, причем здесь в качестве берется любой возможный набор значений По этой причине некоторые

из приводимых ниже теорем будут сформулированы для задачи (1.2), но доказательства их будут даны применительно к задаче (1.1).

Всюду дальше где