§ 3. Линейные уравнения второго порядка

В большей части этого и следующего параграфов изучаются решения осциллирующих уравнений (см. § XI.6) вида

где монотонная функция от

Теорема 3.1. Пусть функция непрерывна при и монотонна, т. е.

Тогда для всякого решения уравнения (3.1) функции монотонны, так что

Если решение и имеет конечное или бесконечное множество нулей то последовательность

Более, того, если

при то уравнение (3.1) имеет такие линейно независимые решения то

Если уравнение (3.1) является осциллирующим при то из неравенства вытекает, что график функции на -плоскости состоит из последовательности выпуклых дуг.

Рис. 1.

Из утверждения (3.3) следует, что последовательные «амплитуды» (т. е. максимумы функций соответствующие точкам, в которых изменяются монотонно. Соответственно,

последовательные максимумы функции соответствующие точкам, в которых или, что эквивалентно, изменяются монотонно в силу (3.4). См. рис. 1. Из теоремы сравнения Штурма вытекает (3.5) и следующее утверждение:

Упражнение 3.1. Пусть функция непрерывна и не возрастает при а уравнение (3.1) имеет решение, которое трижды обращается в нуль при где Докажите, что имеет в точности два нуля при . (b) Кривая, симметричная графику функции для четверти волны относительно вертикальной прямой при или 3, лежит над графиком функции и (О I Для предыдущей четверти волны т.е. при

Утверждения (3.3), (3.4), (3.7) и (3.8) вытекают из теоремы 1.2, но мы наметим их доказательства исходя из других соображений.

За исключением утверждения (3.5), каждый из двух вариантов теоремы, соответствующих (3.20) или является следствием другого. Это видно из следующей леммы, которую можно интерпретировать как «принцип двойственности» для уравнений (3.1) и (3.11), причем в последнем уравнении заменяются соответственно на

Лемма 3.1. Пусть непрерывная при функция. Введем новую зависимую переменную и независимую переменную полагая

Тогда

уравнение (3.1) эквивалентно уравнению

в силу (3.9); наконец, о

Доказательство. Эта лемма тривиальна, поскольку, в силу (3.10), Продифференцировав это соотношение по и разделив на получим (3.11). Равенства (3.12) вытекают из (3.9) и

Упражнение 3.2. Найдите аналог леммы 3.1, если уравнение (3.1) заменено уравнением где

Доказательство теоремы 3.1. Заметим, что если монотонна, то функции очевидно, имеют ограниченную вариацию на всяком отрезке а Соотношения (3.3), (3.4) следуют из (3.1).

В случае из существования решения удовлетворяющего (3.80) (или вытекает существование решения удовлетворяющего (3.70) (или В этом можно убедиться, привлекая такие соображения. Пусть линейно независимые решения уравнения (3.1). Тогда их определитель Вронского равен постоянной, отличной от нуля:

Поскольку этот определитель равен

из неравенства Шварца следует, что

Поэтому из вытекает [а после перестановки из (3.80) вытекает (3.70)].

Таким образом, в силу леммы 3.1, остается проверить только и существование решения удовлетворяющего в случае

Упражнение 3.3. Предполагая справедливым докажите существование решения удовлетворяющего Для этого используйте теорему или примените рассуждения, аналогичные тем, с помощью которых доказывалась теорема 1.1, непосредственно к функции (вместо

Упражнение 3.4. Сформулируйте и докажите аналог теоремы в случае, когда уравнение (3.1) заменено уравнением .

Следствие 3.1. Пусть непрерывная и неубывающая при функция, а уравнение (3.1) является осциллирующим при Пусть решение уравнения (3.1) и при Тогда интеграл

(«возможно, условно).

Упражнение 3.5. Докажите следствие 3.1.

Упражнение 3.6. Пусть бесселева функция порядка Существует такая постоянная с, что

См. Хартман и Уилкокс [1, стр. 239].

Заметим, что если условия теоремы 3.1 выполнены для непрерывной функции не выполняется, то при удовлетворяет неравенствам Если то уравнение (3.1) имеет пару решений для которых

при с упр. X. 17.4(a) или В частности,

Этот результат используется в следующем параграфе.

Если функция монотонно стремится к (или к 0), то существует по крайней мере одно решение которое монотонно стремится к ограничено). Если и функция растет достаточно быстро, то все решения стремятся к (или не ограничены), что можно видеть из асимптотической формулы, приведенной, например, в упр. XI.8.3 или XI.8.5.

Аналогичное утверждение, не связанное с асимптотическим интегрированием, сформулировано в следующем упражнении.

Упражнение 3.7. Будем говорить, что монотонная при а функция стремящаяся к при имеет «нерегулярный рост», если для каждого существует неограниченная последовательность -значений такая, что

где и суть открытые множества. Если функция не имеет «нерегулярного роста», то мы будем говорить, что она имеет «регулярный рост». Докажите, что если непрерывная

функция, удовлетворяющая и если имеет «регулярный рост» при для большого а, то все нетривиальные решения уравнения (3.1) удовлетворяют или См. Хартман [23].

Упражнение 3.8. Пусть функция имеет непрерывных производных при причем для Предположим, что функция имеет непрерывных производных при для Тогда уравнение имеет единственное решение такое, что для при для Докажите это утверждение при (Случаи более сложны; см. Хартман

Упражнение 3.9. Пусть и уравнение (3.1) является неосциллирующим при Для решения положим Обозначим через главное решение (теорема XI.6.4), Пусть Докажите, что при больших Если, кроме того, выполнены условия теоремы при для каждого решения и уравнения (3.1) тогда и только тогда, когда Пусть [или ]. Тогда для главного решения [или ] при [или для неглавного решения [или ] при больших [или ] В этом случае для всех решений тогда и только тогда, когда Пусть где Тогда для главных решений [или ] при в обоих случаях. Условие с другой стороны, необходимо и достаточно для того, чтобы для неглавных решений в этом случае [или ] при больших