§ 3. Теорема о продолжении решения

Пусть функция непрерывна на -множестве и пусть является решением системы

в некотором интервале Этот интервал будет называться правым максимальным интервалом существования решения если не существует продолжения на какой-либо интервал при котором оставалось бы решением системы (3.1); подразумевается, что собственное подмножество интервала т. е. имеют различные правые концы. Аналогично определяется левый максимальный интервал существования решения Максимальный интервал существования определяется как интервал, являющийся одновременно и левым, и правым максимальным интервалом существования.

Теорема 3.1. Пусть непрерывна на открытом -множестве и пусть является в некотором интервале решением системы (3.1). Тогда функция может быть продолжена (как решение) на максимальный интервал существования Кроме того, если максимальный интервал существования, то стремится к границе множества при

Продолжение вообще говоря, не обязательно будет единственным, и соответственно зависит от выбора продолжения. Утверждение стремится к при означает, что или или а при близких к точки не принадлежат ни одному компактному подмножеству множества

Доказательство. Пусть -открытые подмножества множестватакие, что замыкания компактны и (например, пусть : В силу следствия 2.1 существует число такое, что если произвольная точка из то все решения системы (3.1), проходящие через можно продолжить на отрезок

Рассмотрим какое-либо решение системы (3.1) на некотором интервале Если не является правым максимальным интервалом существования, то может быть продолжено на интервал, содержащий правую концевую точку интервала Поэтому в доказательстве существования правого максимального интервала существования можно предполагать, что определено в замкнутом интервале и не допускает продолжения на интервал

Пусть такое большое число, что . Тогда функцию y(t) можно продолжить на отрезок Если то может быть продолжено дальше на отрезок длины Продолжая это рассуждение, мы видим, что существует целое число такое, что продолжается на отрезок где

Аналогично, возьмем такое большое чтобы Тогда существует целое число такое, что функция может быть продолжена на отрезок где

Повторяя эти рассуждения, мы получим последовательности целых чисел и чисел такие, что продолжается на где причем

Поэтому последовательность точек и ли не ограничена, или имеет предельную точку на границе области

Чтобы показать, что когда оставаясь на правом максимальном интервале достаточно убедиться, что никакая предельная точка последовательности где не может быть внутренней точкой множества А этот факт вытекает из следующей леммы.

Лемма 3.1. Пусть непрерывна на -множестве является решением системы (3.1) на интервале и пусть существует последовательность такая, что и существует. Если ограничена на пересечении множества и какой-либо окрестности точки то

Если, кроме того, определена (или может быть определена) так, непрерывна в точке является решением системы (3.1) на отрезке

Доказательство. Пусть так мало и так велико, что для принадлежащих пересечению с параллелепипедом Если такой большой номер, что то

В противном случае существует наименьшее число такое, что Отсюда Для Поэтому для Значит, Это доказывает (3.3) и, следовательно, (3.2). Последнее утверждение леммы справедливо, поскольку при

Следствие 3.1. Пусть непрерывна в полосе и пусть является решением задачи Коши (1.1) на правом максимальном интервале Тогда или

Более общо, имеет место

Следствие 3.2. Пусть непрерывна на замыкании открытого -множества и пусть задача Коши (1.1) обладает решением на правом максимальном интервале Тогда или или или при

Несколько другой, но очень полезный результат содержится в следующей теореме.

Теорема 3.2. Пусть функции определены и непрерывны на открытом -множестве и

равномерно на каждом компактном подмножестве множества Пусть является решением задачи Коши

его максимальный интервал существования. Пусть, наконец,

Тогда задача Коши

имеет решение с максимальным интервалом существования этом существует последовательность положительных целых чисел обладающая следующим свойством: есуш для при больших и

равномерно для В частности,

Доказательство. Пусть -открытые подмножества множества такие, что замыкания компактны и Предположим, что так что при достаточно большом

В излагаемом нами доказательстве будет построено решение только на его правом максимальном интервале существования Построение решения на левом максимальном интервале проводится аналогично.

По следствию 2.1 существует число не зависящее от при больших такое, что любое решение системы (3.5) [или (3.7)], проходящее через любую точку продолжается на отрезок длины с центром в точке По теореме Арцела отсюда следует, что при подходящем выборе последовательности предел из (3.8) существует равномерно в и является решением задачи Коши (3.7). Если точка то последовательность может быть заменена подпоследовательностью (которую мы снова обозначим через такой, что предел в (3.8) существует равномерно в и является решением задачи Коши (3.7). Этот процесс можно повторить или бесконечное число раз — тогда мы получим для или его можно повторить только раз, так что

В последнем случае положим и выберем целое число так, чтобы Повторяя предыдущие рассуждения с новым (зависящим от но не зависящим от при больших мы получим или на интервале или на отрезке где

для но не для Положим и повторим изложенные выше рассуждения и т. д.

В итоге мы получим последовательность значений и подпоследовательности

последовательности (каждая из которых является подпоследовательностью предыдущей). Если то сходимость в (3.8) является равномерной на отрезке Положим Так как является для правым максимальным интервалом существования. Обычный диагональный процесс приводит к искомой последовательности Теорема доказана.