ДОБАВЛЕНИЕ. ЛИНЕЙНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

§ 10. Фундаментальные матрицы

В добавлении мы будем иметь дело с линейной системой дифференциальных уравнений

в которых является комплексной переменной, а элементы матрицы представляют собой однозначные аналитические функции от определенные в некотором открытом множестве из -плоскости. Слово «аналитический» используется здесь в смысле «регулярно аналитический». В достаточно малой окрестности любой точки система (10.1) имеет фундаментальную матрицу являющуюся аналитической функцией от (т. е. ее элементы являются аналитическими функциями от Это утверждение доказывается путем некоторой модификации доказательства теоремы существования методом последовательных приближений (лемма 1.1); см. упр. II. 1.1. Отсюда в случае, если множество односвязно, по теореме монодромии мы получаем, что матрица существует во всей области и является там однозначной и аналитической.

В большей части добавления рассматривается случай, когда область не является односвязной, а представляет собой круг с выколотой точкой область мы будем в дальнейшем называть кольцом)

Лемма 10.1. Пусть однозначная аналитическая матрица, заданная в кольце Предположим, что (т. е. по крайней мере один из ее элементов) в точке не является аналитической. Тогда система (10.1) не может иметь фундаментальной матрицы которая была бы в кольце однозначной и аналитической функцией, допускающей продолжение на с условием

Доказательство. Предположив противное, мы получим, что матрицы являются аналитическими во всем круге Но в таком случае матрица будет иметь в точке устранимую особенность, что исключено по предположению.

Теорема 10.1. Пусть однозначная аналитическая матрица, заданная в кольце Тогда любая фундаментальная матрица (которая не обязательно является однозначной) системы (10.1) допускает представление вида

где однозначная аналитическая матрица в области постоянная матрица и

Если - некоторая постоянная невырожденная матрица, то матрица является фундаментальной и

Матрица может быть выбрана так, что будет иметь нормальную жорданову форму. Вид матрицы можно установить с помощью формулы (5.18) после замены в ней на

Доказательство. Пусть фундаментальная матрица системы (10.1), определенная локально в окрестности некоторой точки и продолженная аналитически на остальные что, возможно, делает ее многозначной. Пусть при обходе точкой окружности с центром в точке матрица возвращается в окрестность точки со значением Так как однозначна, то останется для системы (10.1) фундаментальной матрицей. Поэтому найдется постоянная невырожденная матрица С,

такая, что

В силу аналитичности соотношение (10.4) останется справедливым и для аналитических продолжений матриц и

Рассмотрим для фиксированного матричную функцию аргумента Тогда из (10.4) следует, что или где см. § 6. Легко видеть, что функция имеет по период см. формулу (6.6).

Заметим теперь, что матрица является аналитической функцией от которая однозначна (ибо имеет по период Теорема доказана.

Принимая во внимание то, что матрица из (10.2) является для системы (10.1) фундаментальной, можно установить ряд свойств матриц Например, найдем для дифференциальное уравнение, которому она удовлетворяет. Так как матрица коммутирует с то из (10.1) и (10.2) следует, что

Отсюда

Уравнение (10.5) не принадлежит классу рассмотренных выше матричных дифференциальных уравнений, так как здесь входит в правую часть и как множитель слева и как множитель справа Для того чтобы можно было работать с уравнением (10.5), удобно выписать в некотором определенном порядке элементов матрицы и рассматривать (10.5) как однородную линейную систему для -мерного вектора Мы получим систему вида

где есть некоторая -матрица. Каждый ее элемент представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов матриц и с постоянными коэффициентами. Поэтому является в области однозначной и аналитической. В частности, если элементы аналитичны в или имеют там простой полюс, то же самое будет верно и для элементов матрицы

Для того чтобы не прерывать следующие далее рассуждения, сформулируем и докажем одну простую алгебраическую лемму. Пусть В — постоянная -матрица, X — переменная

матрица и их коммутатор, т. е.

Расположим элементов матриц в некотором определенном порядке и будем рассматривать (10.7) как линейное преобразование -мерного пространства X в себя. Тогда матрицу (10.7) можно представить в виде

где суть -мерные векторы, некоторая -матрица.

Лемма 10.2. Пусть суть собственных значений матрицы В. Тогда собственных значений матрицы В равны соответственно

Доказательство. Пусть невырожденная -матрица, и пусть так что и С имеют одинаковые собственные значения. Пусть матрица С связана с С так же, как В с В. Тогда собственные значения матриц совпадают. Чтобы убедиться в этом, заметим, что соотношение (10.8) эквивалентно соотношению так как коммутатор (10.7) может быть записан в следующем виде:

Поэтому из равенства например, следует, что

Предположим сначала, что собственные значения матрицы В различны, и выберем так, чтобы Тогда если то видно, что соотношение эквивалентно соотношениям Следовательно, матрица С является диагональной порядка с элементами Яд, и лемма в этом случае доказана.

Если некоторые собственные значения матрицы В совпадают, возьмем последовательность матриц (каждая из которых имеет различные собственные значения), сходящуюся к В при (существование такой последовательности очевидно: достаточно предположить, что матрица В дана в нормальной жордановой форме, и тогда матрицы можно получать малым изменением ее диагональных элементов). Собственные значения матриц можно перенумеровать так, чтобы для всех Тогда собственные значения матриц соответственно будут стремиться к собственным значениям матрицы В. Доказательство общего случая сводится теперь к уже рассмотренному выше частному случаю.