§ 11. Доказательство теоремы 6.1

Достаточность. Предположим, что существуют непрерывные матрицы такие, что форма (6.2) имеет непрерывную внешнюю производную и в окрестности произвольной точки из Покажем сначала, что достаточно рассмотреть случай, когда не зависит от Для этого перепишем (6.1) в виде (1.4) и обозначим символом так что соответствующий вектор заменится на Пусть обозначает матрицу

и пусть Тогда где определяется по формуле (6.2). Значит, со имеет непрерывную внешнюю производную. Таким образом, если у символов отбросить звездочки, то становится ясным, что достаточно рассмотреть лишь тот случай, когда не зависит от

Пусть формы (10.5) и определены так же, как в доказательстве теоремы 8.1. Тогда предельный переход в (10.8) будет равномерным на множестве Кроме того, в очевидных обозначениях, функция является решением задачи Коши

см. вывод (9.4) из (9.2). Вводя новые переменные

видим, что

Поскольку предельные переходы равномерны относительно то следствие IV.4.1 показывает, что при фиксированном предел существует, равномерен относительно и является решением задачи

В действительности этот предел существует и равномерен относительно и . Это можно показать, например, с помощью теоремы 2.1, построив семейство линейных дифференциальных уравнений где матрица непрерывна относительно и превращается при и при Отсюда следует, что предел

существует и равномерен относительно и является решением задачи

Следовательно, стандартная теорема о переходе к пределу под знаком производной обеспечивает существование производной для о и ее совпадение с (11.5). Как и в доказательстве теоремы 3.1, видно, что производная существует и задается формулой (9.10), являющейся аналогом формулы (3.4).

Тем самым доказано, что функция принадлежит классу если точка достаточно близка к где произвольная точка из Если теперь выбирать произвольно, ограничиваясь лишь условием существования на отрезке то, применив конечное число раз формулы типа мы придем к выводу, что функция принадлежит классу во всей ее области существования.

Из приведенных выше рассуждений попутно вытекают также все утверждения следствия 6.1, кроме того, которое относится к задаче (6.8). Его проверку мы оставляем читателю в качестве упражнения.

Необходимость. Предположим, что задача (6.1) имеет единственное решение принадлежащее классу Пусть точка фиксирована. Тогда найдется окрестность точки такая, что функция определена на отрезке, содержащем если Кроме того, матрица Якоби в точке является единичной, и потому можно считать окрестность столь малой, что в ней для всех

Рассмотрим при фиксированном функцию от Имеем

где использована формула (3.4) с заменой на Значит, если в точке то форма в (6.2) становится! равной форме имеющей непрерывную внешнюю производную Кроме того, Это завершает доказательство.