ПРИЛОЖЕНИЕ. ГЛАДКО ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

§ 12. Гладкие линеаризации

Как уже указывалось ранее, теорема 7.1 и лемма 8.1 становятся неверными, если утверждение о непрерывности заменить утверждением, что принадлежат классу . В этом и двух последующих параграфах рассматриваются результаты, касающиеся существования гладких линеаризующих отображений при дополнительных предположениях.

Теорема 12.1. Пусть целое положительное число (или Существует такое целое число что для всякой вещественной постоянной невырожденной -матрицы

с собственными значениями удовлетворяющими условию

при любых неотрицательных целых та, и для любого отображения

где принадлежит классу при малых причем существует такое отображение из класса при малых что

Заметим, что (12.1) влечет за собой при поскольку собственные значения вещественной матрицы либо вещественны, либо образуют комплексно сопряженные пары (например, если то Если «группа» отображений, порожденная дифференциальным уравнением (7.1), и в (12.2), то так что если собственные значения матрицы то и соотношения (12.1) переходят в неравенства

Упражнение 12.1. Сформулируйте аналогичную теорему о линеаризации дифференциального уравнения (7.1) и докажите ее, используя теорему 12.1 и ту идею, связанную с формулой (9.1), которая была использована при выводе теоремы 7.1 из леммы 8.1.

Замечание. Доказательство теоремы 12 указывает способ (по-видимому, далеко не лучший) отыскания числа или, что эквивалентно, числа Пусть число а таково, что и собственные значения матрицы удовлетворяют неравенству

(В частности, в подходящей системе координат нормы матриц меньше, чем более того, или где нормы таковы, что Тогда можно положить равным взяв в качестве такое целое число, что

есть число частных производных порядка для функции от переменных; см. (14.29) и п. (к) и (1) в доказательстве теоремы 12.2 из § 14.

Теорема 12.1 вытекает из более общей теоремы 12.2. Тот факт, что теорема 12.1 содержится в теореме 12.2, виден из следующей леммы, которая доказывается с помощью простых вычислений.

Лемма 12.1. Пусть целое число (или Пусть вещественная постоянная невырожденная матрица, собственные значения которой удовлетворяют (12.1), пусть вектор-функция принадлежит классу при малых причем отображение, определенное в (12.2). Тогда существует отображение класса при малых такое, что а отображение

где таково, что все частные производные функции порядков равны нулю при

Обобщая теорему 12.1, изучим вопрос об «эквивалентности» двух отображений не предполагая линейности одного из них.

Теорема 12.2. Пусть отображение (12.5) принадлежит классу при малых где Предположим, что собственные значения матрицы таковы, что Пусть — целое число. Тогда существует целое число зависящее только от и обладающее следующим свойством: в (12.2) принадлежит классу частные производные разности порядка равны нулю при то существует отображение класса при малых удовлетворяющее (12.3) и такое, что

В доказательстве этой теоремы определение не будет зависеть от и потому для любого допустимого В частности, если то При этом из доказательства будет видно, что для любого данного предположение о принадлежности классу С может быть ослаблено до предположения о принадлежности классу если все частные производные разности порядков не превосходят где с — постоянная и фиксированное число. В этом случае отображение из класса таково, что каждая частная производная разности порядка не превосходит где постоянная.

Лемма 12.1 будет доказана в следующем параграфе, а теорема 12.2 — в § 14. Доказательство следующей теоремы, являющейся аналогом теоремы 12.2 для дифференциальных уравнений, является

простой модификацией доказательства теоремы 12.2 и предоставляется читателю в качестве упражнения; см. упр. 14.1.

Теорема Пусть в дифференциальном уравненииг

функция принадлежит классу при малых где матрица не имеет собственных значений с нулевой вещественной частью и произвольное целое число. Тогда существует целое число зависящее только от и обладающее следующим свойством: если и в системе

вектор принадлежит классу и все частные производные разности порядков равны нулю при то существует отображение из класса при малых удовлетворяющее (12.3) и переводящее (12.7) в (12.8).

Замечания, сделанные после теоремы 12.2 относительно гладкости можно переформулировать в терминах гладкости В частности, из последней части замечания, касающейся отображения вытекает следующий результат об асимптотическом интегрировании:

Следствие 12.1. При выполнении условий теоремы 12.3 существует взаимно однозначное соответствие между решениями системы (12.8) и решениями системы (12.7), удовлетворяющими условиям при (или — кроме того, при (или —

Упражнение Пусть бесконечно дифференцируемые при малых функции в (12.2) и (12.5) таковы, что модули собственных значений матрицы не равны или Обозначим через ряды Тейлора в начале координат (не обязательно сходящиеся), соответствующие Отображение бесконечно дифференцируемое при малых удовлетворяющее (12.3) и такое, что существует тогда и только тогда, когда существует отображение в виде формального степенного ряда, для которого формально (Это утверждение следует из теоремы 12.2 и леммы 13.1.) Существование отображения зависит от разрешимости некоторых линейных уравнений; см., например, доказательство леммы Сформулируйте утверждение, аналогичное в случае, когда отображения заменены дифференциальными уравнениями (12.7), (12.8).