Глава VI. Уравнения в полных дифференциалах Уравнения с частными производными

В этой главе мы рассмотрим некоторые вопросы, связанные с уравнениями в частных производных, для решения которых можно использовать методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Части I и II являются независимыми друг от друга.

ЧАСТЬ I. ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА

§ 1. Уравнения в полных дифференциалах

Пусть непрерывная -матрица, определенная в открытом -мерном множестве Рассмотрим систему уравнений в полных дифференциалах

или

и начальное условие

заданное для некоторой точки Система (1.1) является краткой записью следующей совокупности уравнений в частных производных:

Если то (1.3) превращается в систему обыкновенных дифференциальных уравнений; теоремы существования и единственности решений для соответствующей задачи Коши были доказаны в предыдущих главах. Если то в общем случае система (1.1) вовсе не обязана иметь решения. Например, предположим, что принадлежит классу Если (1.1) имеет решение класса то из (1.3) ясно, что тогда принадлежит (так как правая часть в (1.3) принадлежит Но в таком случае что приводит к условию

для которое должно выполняться во всех точках Таким образом, в этом случае необходимым условием разрешимости задачи (1.1) — (1.2) для произвольной точки является тождественное выполнение «условий интегрируемости» (1.4) во всей области Если то, как мы увидим далее, это необходимое условие является также достаточным для существования решения более того, в этом случае решение задачи (1.1) — (1.2) единственно, а принадлежит по всем своим аргументам.

Вместо того чтобы работать непосредственно с (1.1) — (1.2), оказывается более удобным ввести -форму

где обозначает непрерывную и невырожденную -матрицу, и решить следующий вопрос: при каких условиях в -мерной окрестности точки существует функция

класса такая, что выполняются соотношения

и отображение (1.6) преобразует форму (1.5) в дифференциальную форму вида

от с коэффициентами, зависящими, конечно, от (Введение матрицы в (1.5) сделано только для удобства и нисколько не влияет на существо вопроса.) Если такая функция существует, то форма (1.5) называется вполне интегрируемой в точке

Если функция принадлежит классу и если в соотношение (1.5) подставить то ясно, что в результате мы получаем (1.9) тогда и только тогда, когда

причем в этом случае

В частности, из (1.8) следует, что матрица невырожденная.

Возможность преобразования формы (1.5) к виду (1.9) эквивалентна возможности удовлетворить уравнению (1.10), т. е. уравнениям (1.1) или (1.3). Поэтому полная интегрируемость системы (1.1) или формы (1.5) равносильна существованию семейства решений

системы (1.1), зависящего от параметров и удовлетворяющего условиям (1.7) и (1.8).

Вопрос о существовании функции (1.6) можно рассмотреть несколько с другой точки зрения. А именно, нужно узнать, когда для формы из (1.5) существует локальный «интегрирующий множитель», т. е. когда существует невырожденная непрерывная матрица такая, что является полным дифференциалом: Ясно, что такая матрица существует в том и только в том случае, когда поставленный выше вопрос имеет решение; в этом случае , где функция, обратная к

Наконец, существует и еще один подход к рассмотрению вопроса о существовании функции (1.6). Поставим задачу нахождения вещественных функций от независимых аргументов, удовлетворяющих следующей системе из линейных дифференциальных уравнений с частными производными:

где непрерывная -матрица, заданная в Система (1.12) называется системой, сопряженной к системе (1.1).

Система (1.12) называется полной в если она обладает там решениями для которых их матрица Якоби имеет в каждой точке максимальный ранг Из (1.12) видно, что это условие относительно ранга выполняется тогда и только тогда, когда матрица является невырожденной. Если такие решений существуют, то систему (1.12) можно переписать в виде

Умножение на показывает, что (1.13) эквивалентно уравнению

Из условия следует, что локально функция имеет обратную функцию класса для которой Значит, (1.14) равносильно тогда уравнению (1.10), т. е. (1.3). Это рассуждение можно обратить, и мы получаем, что полная интегрируемость системы (1.1) или формы (1.5) в точке эквивалентна полноте системы (1.12) в окрестности точки В частности, если то для полноты системы (1.12) в окрестности каждой точки необходимо и достаточно, чтобы условия (1.4) выполнялись тождественно в Эти условия в силу (1.12) можно

переписать в виде

Рассуждения, использовавшиеся в § V.12, показывают, что если задача (1.1) — (1.2) имеет решение при всех то функция и класса на будет решением системы (1.12) в том и только том случае, когда она является первым интегралом системы (1.1), т. е. если и для любого решения системы (1.1), такого, что

Система (1.1) или эквивалентная ей система (1.10), для которой выполнены условия интегрируемости (1.15), называется системой Якоби. В теореме 3.2 приводятся условия существования и единственности решений таких систем. В этой теореме не предполагается, что принадлежит классу так что условия интегрируемости принимают вид, отличный от (1.15), и в действительности задаются в более удобной алгебраической форме (так что громоздкие соотношения (1.4) в вычислениях не встречаются). Эта теорема будет получена на основе теоремы 3.1, в которой рассматривается вопрос о полной интегрируемости системы (1.1) или формы (1.5).

Упражнение Пусть суть функций класса Определим дифференциальные операторы в частных производных и оператор Покажите, что является коммутатором операторов и в том смысле, что если и принадлежит классу то Покажите, что если и принадлежит классу то Относительно обобщений см. упр. 8.2(b).

Упражнение 1.2. Пусть в открытом множестве из -мерного х-пространства задана непрерывная -матрица ранга Далее, для определим дифференциальные операторы Система называется полной в если у нее существует решений класса таких, что матрица Якоби имеет ранг Используя теорему 3.1, покажите, что если матрица принадлежит классу то система полна в окрестности каждой точки тогда и только тогда, когда коммутатор операторов (см. упр. 1.1) является линейной комбинацией операторов (т. е. тогда и только тогда, когда существуют функции такие, что или, что равносильно,