§ 7. Фокусы, узлы и седловые точки

Предположим, что единственным решением задачи является (так что ни одно решение не может стремиться к 0, когда стремится к конечному значению).

Простейшими стационарными точками, отличными от точек вращения, являются так называемые точки притяжения. Изолированная стационарная точка называется точкой притяжения для если все решения задачи

(кликните для просмотра скана)

(6.1) при малых существуют для при Если, кроме того, все орбиты являются спиралями, то точка притяжения называется фокусом. Если все орбиты имеют касательную в точке непрерывное продолжение угла стремится к определенному пределу то точка притяжения называется узлом. Узел называется собственным, если для каждого существует единственное решение такое, что в противном случае узел называется несобственным.

Примеры точек притяжения различных типов доставляют вещественные системы; см. рис. 8. Система

определяет точку притяжения для если (или Эта точка является фокусом, если и собственным узлом, если Для системы

точка является несобственным узлом, если В случае

где точка также является несобственным узлом.

Существуют стационарные точки, не являющиеся ни точками вращения, ни точками притяжения, и точки притяжения, не относящиеся ни к фокусам, ни к узлам. Простейшим примером стационарной точки, не являющейся точкой притяжения, служит так называемая седловая точка. Это стационарная точка обладающая тем свойством, что только конечное число орбит стремится к при или Пример седловой точки дает система (7.2), где вещественны и

Упражнение 7.1. Проверьте только что высказанные утверждения относительно систем (7.1) — (7.3).

Упражнение 7.2. Рассмотрим линейную систему где А — вещественная постоянная -матрица с так что единственной стационарной точкой является лишь точка

Пусть и характеристические корни матрицы А. Покажите, что точка является точкой притяжения для в том и только том случае, когда точка является центром тогда и только тогда, когда будет фокусом тогда и только тогда, когда и являются комплексно сопряженными числами с отличными от нуля вещественной и мнимой частями; есть собственный узел, если и элементарные делители характеристической матрицы для А простые; есть несобственный узел, если но или или а элементарный делитель второй степени.