§ 8. Точки выхода и функции Ляпунова

Пусть функция непрерывна в открытом -множестве и пусть открытое подмножество Обозначим через соответственно границу и замыкание множества Тогда называется точкой выхода (или входа) для множества по отношению к системе

если для каждого решения этой системы, удовлетворяющего начальному условию существует такое, что для (или для Если, кроме того, при достаточно малом (или при точка называется точкой строгого выхода (или строгого входа). Точку не являющуюся точкой выхода, мы будем в дальнейшем называть точкой невыхода.

Лемма 8.1. Пусть непрерывна в открытом множестве - открытое подмножество такое, что или пусто, или состоит из точек невыхода. Пусть —решение системы (8.1), удовлетворяющее при некотором условию Тогда для всех принадлежащих правому максимальному интервалу существования

Действительно, если утверждение леммы неверно, то существует наименьшее значение для которого Но в таком случае будет точкой выхода, что противоречит предположению. Тем самым лемма доказана.

Пусть вещественная функция, определенная в окрестности точки Пусть решение системы (8.1), удовлетворяющее условию Если функция дифференцируема в точке то ее производная называется производной от и в точке вдоль траектории и обозначается через Если имеет непрерывные частные производные, то ее производная вдоль траектории существует и для ее вычисления не нужно знать явного вида решения системы (8.1). Действительно,

где точкой обозначено скалярное умножение, а вектор является градиентом и относительно у.

Пусть точка и пусть функция класса определенная в окрестности точки и такая, что тогда и только тогда, когда и Тогда для того, чтобы была точкой выхода, необходимо, чтобы и достаточно, чтобы (в этом случае на самом деле будет точкой строгого выхода). В свою очередь неравенство является достаточным условием для того, чтобы была точкой невыхода.

В случае, когда рассматриваемая система

является автономной (т. е. ее правая часть не зависит от определения аналогичны приведенным выше. Например, пусть непрерывна в открытом -множестве пусть открытое подмножество множества Тогда точка называется точкой выхода для по отношению к системе (8.3), если для каждого решения этой системы, удовлетворяющего начальному условию существует такое, что при Если к тому же для (при некотором то у о называется точкой строгого выхода. Очевидно, что в рассматриваемом случае можно доказать лемму, аналогичную лемме 8.1.

Рассмотрим некоторые применения введенных понятий. Будем считать, что функция определена в открытом множестве, содержащем точку Функция определенная в окрестности точки называется функцией Ляпунова, если: 1) она имеет непрерывные частные производные; 2) при соответственно производная V вдоль траектории удовлетворяет условию

Теорема 8.1. Пусть непрерывна в открытом множестве, содержащем точку причем и пусть существует функция Ляпунова Тогда решение системы (8.3) является устойчивым по Ляпунову.

Рис. 3.

Устойчивость по Ляпунову решения означает, что для произвольного существует такое, что если то решение системы (8.3) с начальным условием существует и при всех удовлетворяет неравенству Если, кроме того, у при то решение системы (8.3) называется асимптотически устойчивым (по Ляпунову). Грубо говоря, устойчивость решения по Ляпунову означает, что если некоторое решение начинается вблизи то оно остается вблизи и в будущем ; асимптотическая устойчивость по Ляпунову решения означает, кроме того, что при

Доказательство. Пусть любое число, для которого точки содержатся в том открытом множестве, на котором определены и Пусть для произвольного число выбрано так, что и при

Для большей ясности дальнейших рассуждений полезно обратиться к рис. 3. Так как непрерывна и положительна на сфере то существует число такое, что

при всех Обозначим через открытое множество Его граница содержится в множестве Функция и удовлетворяет при условию и тогда и только тогда, когда Ясно, что Поэтому ни одна точка из не является точкой выхода. Следовательно, в силу леммы, аналогичной лемме 8.1, решение системы (8.3), удовлетворяющее условию остается в для всех из его правого максимального интервала существования Из того, что содержится в шаре принадлежащем следует, что см. следствие II.3.2.

Наконец, положим так что для функция Следовательно, условие означает, что Поэтому существует и остается в для всех В частности, для Теорема доказана.

Упражнение 8.1. Пусть непрерывна в открытом множестве, содержащем точку и пусть Пусть у системы (8.3) существует непрерывный первый интеграл (т. е. функция, постоянная вдоль решений системы (8.3)), который в имеет строгий экстремум (максимум или минимум). Тогда решение системы (8.3) является устойчивым.

Теорема 8.2. Если, предположениях теоремы соответственно при то решение системы (8.3) является асимптотически устойчивым (по Ляпунову).

Доказательство. Будем использовать обозначения, использовавшиеся при доказательстве предыдущей теоремы. Пусть решение системы (8.3) с начальным условием

Так как , то не возрастает и при монотонно стремится к некоторому пределу, скажем

Предположим, что Тогда при Действительно, в противном случае найдется такое, что для некоторых сколь угодно больших значений будет выполняться неравенство Однако для существует постоянная такая, что следовательно, для некоторых сколь угодно больших Но это невозможно, так как Значит, при

Предположим, что так что и если Значит, для больших Но из предположений относительно V следует, что существует число такое, что если В частности, для всех больших что невозможно. Следовательно, и при Теорема доказана.

Результат, в котором устанавливается неустойчивость решения сформулирован в следующем упражнении.

Упражнение 8.2. Пусть непрерывна в открытом множестве содержащем точку и пусть Пусть на определена функция имеющая непрерывные частные производные и производную вдоль траектории которая или при или соответственно. Пусть принимает отрицательные значения при некоторых значениях сколь угодно близких к Тогда решение не будет устойчивым (по Ляпунову).

Для неавтономных систем имеют место аналоги теорем 8.1 и 8.2, зависящие от надлежащей модификации определения функции Ляпунова. Пусть непрерывна в области и пусть

Функция определенная для называется функцией Ляпунова, если: 1) имеет непрерывные частные производные; 2) при а для существует непрерывная функция такая, что или при или соответственно, и для производная V вдоль траектории удовлетворяет условию

Теорема 8.3. Пусть непрерывна в области и удовлетворяет условию (8.4), и пусть существует функция Ляпунова Тогда решение системы (8.1) равномерно устойчиво (по Ляпунову).

Здесь устойчивость по Ляпунову означает, что для произвольного существуют такие, что если является решением системы (8.1), удовлетворяющим условию для некоторого то существует и при всех Если, кроме того, при то решение называется асимптотически устойчивым по Ляпунову. «Равномерность» устойчивости или асимптотической устойчивости означает, что может быть выбрано равным для всех

Теорема 8.4. Пусть и удовлетворяют условиям теоремы 8.3. Кроме того, предположим, что существует непрерывная функция такая, что или 0, когда или соответственно для Тогда решение системы (8.1) равномерно асимптотически устойчиво (по Ляпунову).

Упражнение Докажите теорему Докажите теорему 8.4.