§ 12. Аналог теоремы Пуанкаре-Бендиксона

Главной целью этого параграфа является доказательство следующей теоремы.

Теорема Шварц). Пусть двумерное многообразие класса поток класса на непустое компактное минимальное множество. Тогда является или (i) стационарной точкой или периодической орбитой (которая гомеоморфна окружности), или

В случае есть компакт и поток на нем не имеет стационарных точек. Из формулы Эйлера — Пуанкаре (связывающей род и сумму индексов особых точек векторного поля на следует, что род тогда равен 1; значит, гомеоморфно или тору или бутылке Клейна. Но в действительности на бутылке Клейна поток без стационарных точек всегда имеет периодическую орбиту. Значит, в случае (iii) многообразие является тором. По поводу этих замечаний см. Кнезер 12].

Условие не может быть ослаблено до даже если см. упр. 14.3.

Доказательство теоремы 12.1. В силу результата упр. 11.2(c) или или нигде не плотно в Допустим, что теорема не верна. Тогда множество является компактным, нигде не плотным минимальным множеством в которое не содержит ни стационарной точки, ни периодической орбиты. Покажем, что это невозможно.

Пусть и пусть где суть те допустимые координатная окрестность и локальные координаты, существование которых гарантируется леммой 11.3. Другими словами, если где то

есть трансверсаль класса при фиксированном множество есть часть орбиты

Будем отождествлять точку с ее локальными координатами например, будем говорить о точке как о точке Пусть представляет прямолинейный отрезок который является трансверсалью Точка на дальше будет обозначаться просто через

Так как не содержит внутренних точек, то ясно, что множество не содержит -интервала, так что К есть непустое нигде не плотное множество, замкнутое по отношению к Пусть

так что есть открытое -множество, обладающее разложением в попарно не пересекающиеся открытые -интервалы

Обозначим через множество -значений на таких, что полуорбита начинающаяся при в точке снова пересекает при некотором Ясно, что -множество является открытым в интервале Пусть для величина обозначает наименьшее положительное -значение (в действительности, такое, что и пусть обозначает -координату точки т. е.

Мы можем получить другим способом. Пусть Определим вещественные функции от равенством

при малых Тогда на орбите, начинающейся в будут координатами точки, соответствующей времени В частности, если Значит, функции принадлежат и имеют неравный нулю якобиан согласно лемме 11.1. Рассмотрим для малых обратные функции Тогда для малых В частности, а также и

Заметим, что при малых удовлетворяют соотношению

Так как то отсюда следует, что якобиан пары по отношению к не равен нулю, так

как он равен произведению якобианов и Значит, частная производная функции не равна нулю. Так как при малых то отсюда

Поскольку есть компактное минимальное множество, то из соотношения следует, что см. упр. 11.4. Это показывает, что если то т. е. Пусть V — открытое подмножество множества такое, что

В частности, из (12.3) и (12.4) следует существование постоянных таких, что

Ясно, что отображение

является взаимно однозначным и имеет обратное отображение Далее через мы будем обозначать итерации отображений например, и если то В частности, если то определено на подобное же замечание относится и к случаю

Кроме свойств (12.6) и (12.7) функция обладает еще следующими свойствами:

так как множество инвариантно;

поскольку не содержит периодических орбит; и, наконец,

в том смысле, что К не содержит собственного подмножества Ко, такого, замкнуто относительно (или, что эквивалентно,

Остальная часть доказательства сводится к доказательству следующего утверждения:

Лемма 12.1. Если К — замкнутое, открытые множества на связанные соотношением (12.5), то не существует функции определенной на и удовлетворяющей условиям (12.3) -(12.11).

Доказательство, (а) Предположим, что лемма не верна, и потому функция существует. Обозначим через расстояние; тогда

Заметим, что если — один из интервалов, на которые разлагается то из неравенства следует, что

так как

(b) Легко видеть, что

есть множество концевых точек Действительно, в том и только в том случае, когда является предельной точкой одновременно для двух множеств: Тогда (12.14) следует из (12.4) и (12.9).

(c) Покажем, что существует целое число такое, что для имеет место включение

Пусть конечное множество концевых точек интервалов из таких, что В силу (12.10) существует целое такое, что для Тогда по (12.14) имеем или для некоторого для Поэтому (12.15) следует из (12.13).

(d) Пусть некоторое целое число, а замкнутый -отрезок, такой, что для

для Чтобы убедиться в этом, заметим, что Значит, если обозначает производную от вычисленную в точке то

Следовательно,

и по теореме о конечных приращениях

при подходящем выборе между Теперь видно, что (12.16) следует из (12.6) и (12.7).

(e) Пусть определены, как в формуле (12.15) части (с). Тогда

Чтобы в этом убедиться, заметим сначала, что так что Далее, существует такое, что

Так как интервалы с концевыми точками содержатся в а, а) и при попарно не пересекаются, согласно (12.10), отсюда следует, что

Кроме того, согласно (12.16),

Тем самым (12.18) доказано.

(f) Пусть обозначает число

Покажем, что для справедливы следующие соотношения:

Поскольку определено по (12.12), то (12.20) является следствием с (12.13).

Соотношения и (12.22) при тривиальны. Предположим, что они справедливы для Тогда, в силу (12.16) из имеем

В силу теоремы о конечных приращениях и неравенств получаем

где расположено между Поэтому из (12.18) следует, что

Но так как то тем самым мы получаем неравенство Из него видно, что

где Так как из неравенств следует, что то тем самым доказано неравенство Следовательно, (12.20) — (12.22) справедливы для всех

В силу (12.18) и (12.22 имеем

По свойству минимальности множества замыкание последовательности точек фиксировано), совпадает с К. Значит, существует достаточно большое такое, что

Следовательно, и разность имеет в точках противоположные знаки. Поэтому существует -зна-чение такое, что Кроме того, для согласно (12.23), при Так как замкнуто и соотношение К влечет за собой то Но это противоречит свойству (12.10). Тем самым лемма 12.1 и теорема 12.1 доказаны.

Лемма 12.2. Пусть двумерное многообразие, поток класса на Пусть непустое компактное инвариантное подмножество. Тогда содержит по крайней мере одно непустое минимальное множество.

Так как пересечение инвариантных множеств снова является инвариантным множеством, то эта лемма является непосредственным следствием леммы Цорна (формулировку и доказательство которой см. в книге Келли Теорема 12.1 и лемма 12.1 дают следующий аналог теоремы Пуанкаре — Бендиксона:

Теорема 12.2. Пусть ориентируемое двумерное многообразие класса поток класса на Предположим, что и что является непустым компактным множеством, содержащим стационарных точек. Тогда есть жорданова кривая со стремящейся к ней спиралью

Если есть жорданова кривая, не содержащая стационарных точек, то говорят, что спираль стремится к если для каждой точки существует трансверсаль проходящая через и такая, что последовательные пересечения кривой монотонно стремятся к

«Ориентируемость» многообразия понимается здесь в следующем смысле. Пусть есть жорданова кривая класса

не содержащая стационарных точек. Тогда существуют открытое множество V, содержащее и гомеоморфизм цилиндра на V, такой, что окружность отображается на а образующие переходят в трансверсали.

Доказательство. По лемме 12.2 множество содержит непустое компактное минимальное множество которое по теореме 12.1 является жордановой кривой, не содержащей стационарных точек. Пусть V — описанная выше окрестность кривой Если рассмотреть образ потока на цилиндрическом образе окрестности то ясно, что для него остаются справедливыми рассуждения доказательства теоремы 4.1. Значит, есть спираль, стремящаяся к Отсюда, в частности, следует, что Доказательство закончено.