§ 3. Оператор T
Общая теория излагается здесь в несколько абстрактной форме и может быть применена как к системам (0.1) или (0.3), так и к другим задачам. В дальнейшем через
обозначаются банаховы пространства в
Результаты этого параграфа аналогичны леммам из
Пусть
конечномерные банаховы пространства. Рассмотрим линейный оператор
из
в
и элементы
его ядра
Область определения оператора
обозначим через 3)
Пусть
конечномерное банахово пространство,
некоторое другое банахово пространство. (Мы не предполагаем, что
конечномерно, хотя в приложениях нам встретится и этот случай. При рассмотрении, например, дифференциально-разностных уравнений
уже не будет конечномерным пространством.) Обозначим через
оператор, действующий из
а через
оператор, действующий из
в
Предположим, что области определения операторов
те же, что и у оператора
: 3)
Элемент
мы будем называть начальным значением функции
и обозначать через
Через
мы будем обозначать норму в каждом из пространств
или
если это не приводит к недоразумениям.
Замечание. Удобно время от времени иллюстрировать различные положения общей теории на конкретном примере системы (0.1). При этом мы всегда будем предполагать, что
определены на
интегрируемы по всем конечным интервалам
и что
абсолютно непрерывное решение системы (0.1). В этом
случае пространства
можно считать совпадающими; оператор
определяется равенством
это множество функций
из
абсолютно непрерывных (на каждом
тождественный оператор;
В приложениях общей теории к системе (0.3), где и может быть вектором, предполагается, что система (0.3) записана в виде системы (0.1) для
но
Определение. PD-решения и
Пусть
банахово пространство; у (0 называется PD-реигением уравнения (3.1) при заданной функции
если выполняется (3.1) и
Через
обозначим линейное многообразие в
состоящее из начальных значений
всех
-решений уравнения (3.2).
Определение.
-допустимость. Пара
банаховых пространств из
называется
-допустимой для уравнения (3.1), если для каждой функции
уравнение (3.1) имеет хотя бы одно PD-решение
Относительно оператора
время от времени будут делаться различные предположения
или
Обсудим сейчас эти предположения и некоторые следствия из них.
(А) Если
то функция и
(существенно) ограничена на каждом интервале
из
Это условие означает, что ответ на вопрос о том, будет ли
-решением уравнения (3.1), зависит только от поведения функции и
при больших
условия
для
Единственность
Если выполнено (3.2) и
то
Существуют такие положительные постоянные
что из (3.1) вытекает оценка
Разумеется, она вытекает из неравенства (0.5).
(A) То же самое предположение, что и
но оценка (3.3) заменена оценкой
Нормальность
Если выполняется уравнение (3.1), то
единственным образом определяется по
более того, линейное отображение из
в
определяемое как.
непрерывно в следующем смысле: если
и существуют пределы
то существует предел
Ту
Главную роль условие
играет в следующем предложении (ср. с леммой XI 1.6.2):
Лемма 3.1. Пусть выполнено условие
Оператор
из
определяемый равенством
и имеющий область определения
которая состоит из тех элементов
лежащих в области значений оператора
для которых
и Ту
замкнут. Кроме того, при каждом
существует постоянная
такая, что
Доказательство. Чтобы доказать замкнутость оператора
рассмотрим сходящуюся последовательность
элементов, лежащих на его графике, где
Туп
Тогда существуют
Поскольку из сходимости в
вытекает сходимость в
условие (1.5) на
предположение
влечет за собой следующее: существует предел
Поэтому
Следовательно, оператор
замкнут.
Пусть
оператор, отображающий
в пространство
функций со значениями в У, интегрируемых по отрезку
область определения этого оператора
совпадает с графиком оператора
Тогда
определен на подпространстве пространства
Из
следует, что оператор
непрерывен и, следовательно, ограничен. Неравенство (3.4) эквивалентно условию ограниченности оператора
Хотя тривиальное пространство
не лежит в
такой выбор пространства В допускается леммой 3.1. Из замкнутости оператора
вытекает
Следствие 3.1. Пусть выполнено
Множество элементов вида
где
пробегает множество всех PD-решений уравнения (3.2), является подпространством (т. е. замкнутым линейным многообразием) в
(А) Пара
является
-допустимой.
Лемма 3.2. Из условий
вытекает существование таких постоянных
что если
то
нение (3.1) имеет PD-решение
для которого
Доказательство. Пусть
оператор из
определенный в лемме 3.1. В силу этой леммы
замкнут, а в силу
он отображает
на все
Из теоремы об открытом отображении XI 1.0.3 следует существование постоянной
Если условие
выполнено, то из (3.3), (3.4) с
и (3.5 мы получаем оценку
Поэтому, в силу (1.5), неравенство (3.52) справедливо с
Если выполняется
то аналогично из (1.5), (3.3) и (3.5 вытекает неравенство (3.52) с
замкнуто.
Это предположение, очевидно, выполняется, если
(а поэтому и
конечномерно.
Лемма 3.3. Пусть выполнены условия
[или
и
Пусть
какое-либо подпространство пространства
содержащееся в
[например, если справедливо
можно положить
Тогда существует постоянная
такая, что если
Доказательство. Пусть
оператор из
определенный равенством
где
это множество элементов вида
таких, что
является PD-решением уравнения (3.2) и
Оператор
замкнут в силу (3.3) [или (3.3)] и
взаимно однозначен в силу
и отображает
на все
поскольку
Значит, к
применима теорема об открытом отображении; тем самым лемма 3.3 доказана.
Лемма 3.4. Пусть выполнены условия (А [или
Тогда существует постоянная
такая, что если
то
где
постоянная, что
частности,
допустимо значение
Доказательство. Пусть
некоторое PD-решение уравнения (3.1), удовлетворяющее условиям леммы 3.3, такое, что
Поскольку функция
является PD-решением уравнения (3.2), мы получаем из (3.6) такую оценку:
Если
мы имеем
Поэтому справедливо второе из неравенств (3.7). Кроме того,
Если
то отсюда следует, что первое из неравенств (3.7) выполняется с