§ 2. Характеристические направления

В этом параграфе размерность Положим и перепишем (1.1) в виде

Будем предполагать, что непрерывны для малых и что

Введя полярные координаты преобразуем (2.1) к виду

Направление исходящее из начала координат, называется характеристическим для системы (2.1), если существует последовательность такая, что 1) при где

Условие (2.4) означает, что угол между векторами стремится к при

Лемма 2.1. Пусть непрерывны для малых и пусть или в соответствии с тем, будет ли или Пусть система (2.1) обладает решением для таким, что

Пусть является непрерывным продолжением угла направление не является характеристическим. Тогда для всех близких к и таких, что

Доказательство. Ясно, что для всех близких к и таких, что В противном случае существует последовательность такая что Но тогда для будет иметь место соотношение (2.4), так как в этом случае числитель в формуле (2.4) равен нулю в силу (2.3). Но это невозможно, так как направление не является характеристическим.

Допустим, что лемма не верна. Тогда существует последовательность такая, что см. рис. 6.

Рис. 6.

Обозначим через правую часть второго уравнения в (2.3), так что В силу непрерывности функции существует такое, что Так как при отсюда следует, что справедливо (2.4) с т. е. направление является характеристическим. Полученное противоречие и доказывает справедливость леммы.

Теорема 2.1. Пусть обладают теми же свойствами, что и в лемме 2.1. Предположим, что каждый -интервал, содержит нехарактеристическое направление. Тогда или существует конечный предел

или есть спираль, т. е.

В случае (2.6) направление является характеристическим.

Доказательство. Предположим противное: при не стремится ни к конечному, ни к бесконечному значению. Тогда

существуют числа такие, что при имеем

По предположению, в -интервале существует нехарактеристическое направление причем Так как угол является непрерывной функцией от то сколь угодно близко к найдется -значение, где и другое -значение, где Следовательно, сколь угодно близко к существуют -значения, где и другие -значения, где Но это невозможно в силу последней леммы. Значит, при стремится к конечному или бесконечному пределу. Справедливость последнего утверждения теоремы 2.1 ясна из определения характеристического направления. Теорема доказана.

Упражнение 2.1. Пусть непрерывны для малых и обращаются в нуль в точке Пусть положительная непрерывная функция для малых такая, что Предположим, что пределы

существуют равномерно для близких и что Покажите, что является характеристическим направлением в том и только в том случае, когда

Теорема 2.2. Пусть непрерывны в треугольнике и пусть Пусть неотрицательная и непрерывная на функция, такая, что 1) и 2) функция является единственным решением уравнения

удовлетворяющим при малых условию

Пусть функция

удовлетворяет неравенству

и Тогда система (2.1) имеет (с точностью до замены параметра параметром не более одного решения которое при удовлетворяет соотношениям

Упражнение 2.2. Докажите теорему 2.2. Заметим, что система (2.1) эквивалентна уравнению

Упражнение 2.3. Покажите, что теорема 2.2 остается справедливой, если в ней условие (2.11) заменено условием для В частности, это так, когда и имеют непрерывные частные производные по у, которые в удовлетворяют неравенству

Упражнение 2.4. Заменим в теореме 2.2 треугольник областью пусть, кроме того, функция непрерывна в области Покажите, что если из (2.9) устранить условие , то имеет место аналог теоремы 2.2, но без утверждения в (2.12).