§ 2. Алгебра внешних форм

Для того чтобы условия интегрируемости можно было записать в более удобной форме, напомним здесь некоторые простые факты теории внешних форм.

Пусть Рассмотрим векторное пространство размерности определенное над полем вещественных чисел и имеющее базисные векторы где Тогда любой вектор имеет единственное представление

где вещественные числа. Введем обозначения для где при равенстве двух каких-либо индексов соответствии с тем, четно или нечетно число транспозиций при переходе от Тогда любой вектор можно представить единственным образом в виде

с коэффициентами, подчиненными условиям

где получается из соответственно четным или нечетным числом транспозиций и В частности, если какие-либо два из индексов совпадают. Изменим обозначение «базисных элементов», положив Тогда вектор со становится дифференциальной -формой

с постоянными коэффициентами, подчиненными условию (2.1).

Как и в предыдущей главе, произведение дифференциальной -формы и -формы есть дифференциальная -форма, определяемая так, чтобы выполнялись обычные законы ассоциативности, дистрибутивности и закон антикоммутативности так что Произведение, получаемое по этим правилам, будет называться «внешним» произведением.

«Преобразование базиса» в векторном пространстве дифференциальных -форм можно производить следующим образом. Пусть

некоторая невырожденная -матрица, и пусть

и преобразование «базисных» элементов пространства определяется внешним произведением

Тогда из (2.2) превращается в дифференциальную -форму вида

где сохраняется условие, аналогичное (2.1).

Для того, чтобы убедиться, что это определение действительно приводит к невырожденному преобразованию базиса пространства необходимо доказать следующую лемму.

Лемма 2.1. Пусть «преобразование базиса» (2.3) переводит (2.2) в (2.4). Форма (2.2) равна все равны 0) в том и только том случае, когда равна нулю форма (2.4) (т. е. все равны 0).

Из ассоциативности правила (2.3) «преобразования базиса» следует, что если

преобразует форму (2.4) в

то

преобразует форму (2.2) в (2.5). Значит, для доказательства леммы достаточно положить

Если некоторые из являются линейными комбинациями других (например, если являются линейными

комбинациями дифференциалов с постоянными коэффициентами), то (2.2) превращается в -форму от Это замечание используется в следующей лемме.

Лемма 2.2. Пусть линейно независимые дифференциальные -формы и дифференциальная -форма с постоянными коэффициентами. Внешнее произведение равно в том и только том случае, когда из равенств следует, что

Пусть формы заданы формулами

Предположение об их линейной независимости означает, что рассматриваемые как векторы, являются линейно независимыми, т. е. ранг матрицы равен где Соотношения означают, что дифференциалов могут быть выражены как линейные комбинации остальных дифференциалов причем в этом случае превращается в -форму от этих последних дифференциалов. Утверждение леммы состоит в том, что эта -форма равна О (т. е. все ее коэффициенты равны 0) тогда и только тогда, когда со

Из доказательства будет видно, что утверждение леммы 2.2 может быть сформулировано еще и так: произведение равно нулю в том и только том случае, когда существует дифференциальных таких, что

Доказательство. Присоединим к -матрице новых строк так, чтобы получилась невырожденная -матрица. Рассмотрим преобразование базиса (2.3), где -Тогда по отношению к новому базису и пусть в нем задается, скажем, формулой (2.4). Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда каждое из ненулевых слагаемых формы содержит сомножитель для т. е. тогда и только тогда, когда Таким образом, утверждение леммы справедливо в базисе и поэтому, в силу леммы 2.1, оно справедливо и в базисе