§ 4. Нелинейные задачи

Пусть обозначают векторы с вещественными компонентами. В этом параграфе мы будем рассматривать дифференциальные уравнения второго порядка вида

и вопросы существования решений, удовлетворяющих граничным условиям

или, при данных

Уравнение (4.1) мы будем рассматривать как «неоднородную форму» уравнения

Задача (4.2), (4.4) не имеет нетривиального решения. Значит, по теореме 3.1 уравнение

имеет единственное решение, удовлетворяющее (4.2). Более того, это решение задается формулой

В этом можно убедиться, продифференцировав равенства (4.6) два раза; см. (XI.2.18). Равенство (4.6) мы запишем кратко в виде

где

соответственно неравенствам или Следовательно,

где Поэтому из (4.6) или (4.7), а также из выражений, полученных из них дифференцированием, вытекает, что

где берется по

Теорема 4.1. Пусть непрерывна для всех и удовлетворяет условию Липшица относительно

с постоянными Липшица столь малыми, что

Тогда уравнение (4.1) имеет единственное решение, удовлетворяющее условию (4.2).

Замечание 1. Вместо требования, чтобы была определена для значений и всех достаточно считать, что определена для где удовлетворяет неравенству

где для или просто

если

Доказательство. Пусть — банахово пространство функций имеющих непрерывные первые производные и норму

Возьмем в шаре из некоторую функцию Пусть есть единственное решение уравнения

удовлетворяющее условию Определим в шаре из оператор положив

Если то из (4.10) при ) получаем

Значит, норма функции удовлетворяет неравенству

Далее, если то, согласно (4.10) и (4.11) имеем

Если последнее неравенство умножить на переписать в виде то мы получим неравенство

Теперь из неравенств (4.12), (4.13) и (4.18) видно, что применима теорема 0.1, т. е. теорема 4.1 доказана.

Аналогично, если для то часть соотношений (4.17), относящаяся к показывает, что если то удовлетворяет неравенству Значит, если справедливо (4.14), то отображает шар в себя, и потому в силу (4.12) применимо замечание, относящееся к теореме 0.1. Следовательно, теорема 4.1 и замечание 1 полностью доказаны.

Следствие 4.1. Пусть непрерывна для и удовлетворяет условиям (4.11), (4.12). Пусть и

Тогда уравнение (4.1) имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям

Упражнение 4.1. (а) Докажите следствие 4.1. (b) Пусть в следствии 4.1 требование ослаблено до для и пусть определено заменой знака в (4.13) знаком Покажите, что утверждение следствия 4.1 остается справедливым, если неравенства в (4.20) заменены на

Теорема 4.2. Пусть непрерывна и ограничена, скажем

для и всех Тогда уравнение (4.1) имеет по крайней мере одно решение удовлетворяющее условиям

Здесь достаточно потребовать, чтобы была определена только для

Доказательство. Пусть банахово пространство непрерывно дифференцируемых функций с нормой , определенной равенством (4.15). Рассмотрим в шаре из Для этой функции положим где единственное решение уравнения (4.16), удовлетворяющее условию Тогда так что То отображает шар в себя.

Если то из (4.7) и (4.9) следует, что

Так как функция непрерывна, то при также и Значит, оператор о непрерывен.

Для любой функции из области значений оператора т. е. для с некоторой из (4.16) имеем Следовательно, функции из области значений таковы, что ограничены и равностепенно непрерывны, поскольку

Поэтому из теоремы Арцела следует, что область значений оператора имеет компактное замыкание. Следовательно, применима теорема Тихонова; доказательство теоремы 4.2 закончено.

Следствие 4.2. Пусть непрерывна и удовлетворяет условию для Пусть о удовлетворяют неравенствам и (4.20). Тогда уравнение (4.1) имеет решение, удовлетворяющее условиям (4.21). (В частности, при выполнении неравенства существует такое что если то (4.1) имеет решение, удовлетворяющее (4.21) при

Упражнение 4.2. Докажите следствие 4.2.

Упражнение 4.3. Пусть непрерывна для и произвольного Пусть существуют положительные постоянные а, b, такие, что для Предположим, что таковы, что

удовлетворяют неравенству Тогда граничная задача (4.1), (4.2) разрешима.

Заметим, что следствия 4.1 и 4.2 аналогичны, за исключением того, что в следствии 4.1 содержится дополнительное предположение о выполнимости (4.11) и (4.12) и соответственно этому имеется дополнительное утверждение о единственности решения задачи (4.1), (4.21). Мы можем доказать и другие теоремы единственности.

Теорема 4.3. Пусть непрерывна для и для из некоторого -мерного выпуклого множества. Пусть имеет непрерывные частные производные по компонентам векторов Пусть матрицы Якоби от по

удовлетворяют неравенству

для всех (постоянных) векторов Тогда уравнение (4.1) имеет самое большее одно решение, удовлетворяющее данным граничным условиям

Используя результат упр. условие (4.24) можно ослабить до неравенства

для всех постоянных векторов где удовлетворяет условиям упр.

Доказательство. Предположим, что существуют два решения Положим так что

Согласно лемме это равенство можно переписать в виде

где

а аргумент в (4.25) равен

Для произвольного постоянного вектора применение к (4.25) неравенства Шварца дает для каждой компоненты вектора

следующую оценку:

где аргументом является (4.26). Отсюда

Значит, согласно (4.24),

для всех векторов Поэтому из теоремы 3.3 и замечания 1 к ней следует, что Теорема доказана.

Упражнение 4.4. Пусть непрерывна для и из некоторой -мерной области и удовлетворяет условию Липшица вида (4.11), где

Тогда уравнение (4.1) имеет самое большее одно решение, удовлетворяющее данным граничным условиям

Упражнение 4.5. Пусть непрерывна для и из некоторой -мерной области. Пусть где независимые переменные. Предположим, что

Тогда граничная задача имеет самое большее одно решение.

Упражнение Пусть вещественная переменная. Пусть непрерывна и строго возрастает по при фиксированных Тогда уравнение (4.1) имеет самое большее одно решение, удовлетворяющее заданным граничным условиям Покажите, что утверждение (а) неверно, если условие «строго возрастает» заменить условием «не убывает», (с) Покажите, что если в условие «строго возрастает» заменено условием «не убывает» и если, кроме того, равномерно удовлетворяет условию Липшица относительно то заключение (а), справедливо. (По поводу теоремы существования в предположениях см. упр. 5.4.)

Упражнение 4.7 (метод продолжения). Пусть вещественная переменная. Пусть вещественные функции

непрерывны для и обладают следующими свойствами: i) при фиксированных х периодические по с периодом равномерно при Покажите, что уравнение

имеет самое большее одно решение периода

(b) Покажите, что если и К так велико, что когда то любое периодическое решение уравнения (4.28) удовлетворяет неравенствам Предположим, что принадлежат классу Покажите, что множество -значений из отрезка для которых уравнение

имеет периодическое решение, одновременно и замкнуто, и открыто на На основе этого докажите, что (4.28) имеет единственное периодическое решение, (d) Покажите, что в предположение может быть отброшено.

Упражнение 4.8 (продолжение). Пусть а непрерывны для — и обладают следующими свойствами: при фиксированных периодичны по с периодом существует постоянная С, такая, что ) для при функции равномерно на ограниченных -множествах. Покажите, что уравнение

имеет по крайней мере одно периодическое решение.