Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 4. Нелинейные задачиПусть
и вопросы существования решений, удовлетворяющих граничным условиям
или, при данных
Уравнение (4.1) мы будем рассматривать как «неоднородную форму» уравнения
Задача (4.2), (4.4) не имеет нетривиального решения. Значит, по теореме 3.1 уравнение
имеет единственное решение, удовлетворяющее (4.2). Более того, это решение задается формулой
В этом можно убедиться, продифференцировав равенства (4.6) два раза; см. (XI.2.18). Равенство (4.6) мы запишем кратко в виде
где
соответственно неравенствам
где
где Теорема 4.1. Пусть
с постоянными Липшица
Тогда уравнение (4.1) имеет единственное решение, удовлетворяющее условию (4.2). Замечание 1. Вместо требования, чтобы
где
если Доказательство. Пусть
Возьмем в шаре
удовлетворяющее условию Если
Значит, норма функции
Далее, если
Если последнее неравенство умножить на
Теперь из неравенств (4.12), (4.13) и (4.18) видно, что применима теорема 0.1, т. е. теорема 4.1 доказана. Аналогично, если Следствие 4.1. Пусть
Тогда уравнение (4.1) имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям
Упражнение 4.1. (а) Докажите следствие 4.1. (b) Пусть в следствии 4.1 требование Теорема 4.2. Пусть
для
Здесь достаточно потребовать, чтобы Доказательство. Пусть Если
Так как функция Для любой функции
Поэтому из теоремы Арцела следует, что область значений оператора Следствие 4.2. Пусть Упражнение 4.2. Докажите следствие 4.2. Упражнение 4.3. Пусть
Заметим, что следствия 4.1 и 4.2 аналогичны, за исключением того, что в следствии 4.1 содержится дополнительное предположение о выполнимости (4.11) и (4.12) и соответственно этому имеется дополнительное утверждение о единственности решения задачи (4.1), (4.21). Мы можем доказать и другие теоремы единственности. Теорема 4.3. Пусть
удовлетворяют неравенству
для всех (постоянных) векторов Используя результат упр.
для всех постоянных векторов Доказательство. Предположим, что существуют два решения
Согласно лемме
где
а аргумент
Для произвольного постоянного вектора следующую оценку:
где аргументом
Значит, согласно (4.24),
для всех векторов Упражнение 4.4. Пусть
Тогда уравнение (4.1) имеет самое большее одно решение, удовлетворяющее данным граничным условиям Упражнение 4.5. Пусть
Тогда граничная задача Упражнение Упражнение 4.7 (метод продолжения). Пусть непрерывны для
имеет самое большее одно решение периода
(b) Покажите, что если
имеет периодическое решение, одновременно и замкнуто, и открыто на Упражнение 4.8 (продолжение). Пусть а
имеет по крайней мере одно периодическое решение.
|
1 |
Оглавление
|