§ 14. Доказательство теоремы 12.2

В дальнейшем предполагается, что принадлежат классу и существует такая постоянная что

где В дальнейшем рассматриваются только такие для которых так что при

Используя нормализацию из § 4 и результаты упр. 5.1, можно, не теряя общности, предположить, что определены во всем -пространстве, взаимно однозначны и сводятся к линейному отображению при больших кроме того, так что имеет вид

причем т. е.

суть инвариантные многообразия; наконец, существуют такие постоянные

где Эти неравенства могут быть использованы также в эквивалентной форме:

В обоих случаях они иллюстрируются на рисунке 3, когда

Через обозначим множества точек :

Таким образом, поверхность конуса. Пусть при так что в силу (14.4), при при

Рис. 3.

Обозначим через множество точек лежащее между и включающее т. е.

Кроме того, пусть соответствующее множество, лежащее между и включающее так что

см. рис. 4. Ясно, что

так что множества попарно различны, множество является объединением всех при объединением всех при При обозначим через то единственное целое число для которого

Для обозначим через шар При заданном существует

(кликните для просмотра скана)

такое что и если при (или

Доказательство распадается на несколько этапов. Для краткости полностью исследуются только точки очевидные аналогичные утверждения и рассуждения для случая не приводятся, хотя мы будем их использовать.

Это видно из (14.4) и того факта, что при

(b) Пусть Тогда

Чтобы это проверить, положим так что но Тогда, в силу (14.4),

где потому (14.8) следует из того, что

Существуют постоянные такие, что если то

(В действительности с можно выбрать сколь угодно близким к а, если достаточно велико.) В силу (14.4) и (14.8),

Поэтому, если настолько велико, что то нужный результат получается при

Пусть фиксировано, выбрано, (перед так что Пусть такая постоянная, для выполняется неравенство

такие целые числа, что

Пусть, наконец, такая постоянная, что (14.1) выполняется для Тогда существует такое что

2) существует такая постоянная что

Доказательство. Пусть где пока еще не определено. Тогда в соответствии с выбором

Обозначим

и предположим, что для

Тогда

откуда по индукции приходим к неравенству

В силу (14.7),

Поэтому, если то

так что

До сих пор выбор не был уточнен. Положим теперь

Тогда, согласно учитывая (14.7), получаем

Следовательно, (14.14) верно и при Индукцией убеждаемся, что (14.14) верно для и потому из (14.15) следует, как и выше, (14.12) для и (14.13) (для чего в (14.15) нужно положить воспользоваться определением

Определение Пусть отображение замыкания -пространство, принадлежащее классу равное тождественному отображению на и отображению на и такое, что

при и малых с некоторой постоянной Определим отображение на замыкании области положив

при Если положим

Условия на на влекут за собой непрерывность в точках а потому и во всех точках Будем также предполагать, что выбрано так, что

Очевидно, такой выбор возможен; достаточно положить при в окрестности при окрестност, Можно, например, построить следующим образом: заметим что если то а если то Пусть так что множество лежит внутри время как множество содержит Пусть функция бесконечно дифференцируема при и такова, что при при При положим

если Заметим, что на на и

откуда легко получается (14.16),

(f) Отображение удовлетворяет при равенству

Это ясно из (14.17) и (14.18), поскольку при мы имеем .

(g) Утверждение остается в силе, если заменить и (14.13) соответственно на

При этом константы и С в этих формулах будут несколько» иными, нежели в (14.12) и (14.13), а именно:

где константа, обозначенная в (14.13) через

В самом деле, предполагая, что находим, что

Выражение в правой части не превосходит в силу (14.16), а если использовать (14.7), то его можно оценить величиной Предполагая, как и выше, что получаем

В ходе доказательства было получено неравенство

Поэтому

Индукцией убеждаемся, что приведенные выше неравенства верны для что дает первое из неравенств (14.21). Второе же, очевидно, вытекает из уже доказанного и (14.13), так как

В оставшейся части доказательства мы получим оценки производных от при Удобно для этого ввести следующие обозначения.

Чтобы выделить номер координаты векторов, мы будем записывать его перед обозначением вектора, а не после, как ранее; например, Через мы будем обозначать производную функции по Если набор из неотрицательных целых чисел, используется обозначение или для производной Через обозначается значение соответствующей производной, вычисленной в точке Аналогично, для отображения через или обозначаются производные или

Мы докажем, что если достаточно велико, то с некоторой постоянной

при Доказательство проводится индукцией по Соотношение (14.21) соответствует случаю Определим при

В силу (14.17),

и потому

или

где

По правилу дифференцирования сложной функции

Повторное дифференцирование приводит нас к формуле вида

где вторая сумма берется по всем мультииндексам для которых это произведение множителей вида полином (не зависящий от от координат векторов при о при Заметим, что полином не зависит от от зависят только его аргументы

Если среднее слагаемое в правой части (14.24) записать в виде где тождественный оператор, то справедлив следующий аналог формулы (14.26):

где получается из после замены на соответственно. Таким образом, из (14.24) следует, что

где

(h) Сумма

определенная при превосходит постоянной которая не зависит от при В самом деле, если нормы первых производных от не превосходят С при то Поэтому сумма в (h) оценивается через

Замечание. Если достаточно мало, то число С, а следовательно и может быть выбрано в зависимости только от норм

(i) Существует такое число что

В силу (14.25), дифференцирование дает

Повторное дифференцирование показывает, что является полиномом относительно при и что каждое слагаемое содержит множитель первого типа. Поскольку существует такая постоянная что

при и малых утверждение (i) доказано, Существует такое число что

Если при малых нормы вторых производных от не превосходят С, то по теореме о среднем значении из дифференциального исчисления мы получаем такое неравенство:

В силу (14.21) утверждение выполняется, если положить

(к) Пусть выполнены условия утверждения настолько велико, что при где определено в Тогда существует такая постоянная что (14.22) справедливо при если

Доказательство. Обозначим для краткости

Утверждение, которое мы доказываем, может быть записано в виде

при Мы будем доказывать его индукцией по При доказываемое утверждение следует из (14.21) утверждения Предположим, что и наше утверждение уже доказано для

Вначале мы покажем, что существует постоянная не зависящая от и такая, что

для Заметим, что из определения и в соответствии с (14.26) следует, что выражение в левой части (14.32) мажорируется

где не зависит от Так как рассуждение показывает, что существует такая постоянная зависящая от но не зависящая от что первая сумма не превосходит Поэтому существование постоянной в (14.32) вытекает из предположения индукции.

В силу (14.27), и (14.30)

Из (14.16) вытекает существование некоторой постоянной, при которой

Используя (14.33) и проводя индукцию по мы получаем, что справедливы аналогичные неравенства в случае, когда заменены на Поэтому, если определено, как в то для конечного множества значений существует такая постоянная что

Заметим, что в силу если достаточно велико (но фиксировано).

Индукция по позволяет теперь показать, что (14.34) выполняется при всех Предположим, что (14.34) справедливо при некотором Тогда в силу (14.33) при имеем

Но в силу (с), так что правая часть не превосходит Так как из (14.35) следует, что множитель при не превосходит то неравенство (14.34) выполняется и после замены на Этим завершается индукция по и по

(1) Пусть выполнены условия и Тогда может быть определено на так, что при

Доказательство. Было показано, что отображение рассматриваемое на принадлежит классу и его частные производные порядков ограничены при Не теряя общности, можно предполагать, что (например» можно увеличить добавив новые, «пустые» координаты к Поэтому близкие точки множества можно соединить короткой спрямляемой дугой, лежащей в Отсюдц

следует, что и его частные производные порядков равномерно непрерывны в Поэтому можно продолжить до отображения всего из класса Этим доказано (1).

В силу (f) и непрерывности справедливо при Поскольку отображение близко к тождественному при малых существует обратное к отображение из класса Этим доказана теорема 12.2. (Отметим, что зависит только от ; см. п. (с) и замечание, следующее за (h).)

Упражнение 14.1. Докажите теорему 12.3. Для этого рассмотрите «группы» отображений вместо дифференциальных уравнений и задачу отыскания отображения удовлетворяющего равенству При определите так, чтобы Положите Сужение этого на определяет как в Необходимо только проверить (14.16); но это неравенство можно вывести из

ПРИМЕЧАНИЯ

(см. скан)

(см. скан)