§ 3. Индекс стационарной точки

Будем предполагать, что функция непрерывна в открытом плоском множестве Как и раньше, стационарной точкой называется точка, где а точка, где называется регулярной.

Пусть есть некоторая дуга в на которой Определим где Например, если и класса то вычисляется с помощью криволинейного интеграла:

Если положительно ориентированная жорданова кривая в на которой то целое число называется индексом поля по отношению к кривой

Лемма 3.1. Пусть две жордановы кривые в которые можно продеформировать в друг в друга, не проходя при этом через стационарную точку. Тогда

Предположение леммы означает существование непрерывной функции такой, что (i) при фиксированном каждая кривая является жордановой кривой в Доказательство леммы такое же, как и леммы 2.1.

Следствие 3.1. Пусть положительно ориентированная жорданова кривая в такая, что внутренняя область кривой принадлежит на кривой и во внутренней области. Тогда

Доказательство. Так как внутренняя область жордановой кривой является односвязной, то можно продеформировать (оставаясь в в малую окружность содержащую внутри себя некоторую точку Так как то ясно, что, если окружность достаточно мала, изменение угла между и -осью при обходе вокруг будет мало. Так как целое число, то По лемме

Пусть Лемма 3.1 показывает, что целое число не зависит от конкретного вида жордановой кривой в классе тех кривых внутренние области которых принадлежат и не содержат стационарных точек, за возможным исключением

точки Это целое число называется индексом точки по отношению к полю В силу следствия 3.1 индекс если точка регулярная. Поэтому мы будем рассматривать только индексы изолированных стационарных точек последствие 3.2. Пусть положительно ориентированная жорданова кривая в на которой и пусть внутренняя область кривой принадлежит и содержит только конечное число стационарных точек Тогда

Справедливость этого утверждения сразу же следует из того, что кривую можно продеформировать в кривую, состоящую из окружностей с центрами в стационарных точках и «разрезов» между ними, проходимых в противоположных направлениях; см. рис. 3.

Рис. 3.

Упражнение 3.1. Покажите, что индекс точки поля равен или —1 в соответствии с тем, будет ли или

Упражнение 3.2 (продолжение). Пусть поле определено, как в предыдущем упражнении, и пусть —непрерывное поле, определенное для малых причем при Покажите, что если то точка является изолированной стационарной точкой и ее индекс в соответствии с тем, будет ли

Упражнение 3.3. Пусть в открытом множестве и якобиан отличен от нуля во всех точках, где Пусть положительно ориентированная жорданова кривая в внутренняя область I которой принадлежит на Покажите, что в I содержится самое большее конечное число стационарных точек и что

где и обозначают число тех стационарных точек, в которых соответственно или

Теорема 3.1. Пусть поле непрерывно в открытом множестве и пусть является периодическим решением уравнения имеющим период т. е. Пусть жорданова кривая с внутренней областью I а и пусть Тогда I содержит стационарную точку.

Доказательство. Пусть жорданова кривая, с положительной ориентацией. По теореме 2.1 индекс Поэтому утверждение теоремы вытекает из следствия 3.1.

Изучение стационарных точек и их индексов мы продолжим в § 6.