§ 3. Индекс стационарной точки
Будем предполагать, что функция
непрерывна в открытом плоском множестве
Как и раньше, стационарной точкой называется точка, где
а точка, где
называется регулярной.
Пусть
есть некоторая дуга в на которой
Определим
где
Например, если
и
класса
то
вычисляется с помощью криволинейного интеграла:
Если
положительно ориентированная жорданова кривая в
на которой
то целое число
называется индексом поля
по отношению к кривой
Лемма 3.1. Пусть
две жордановы кривые в
которые можно продеформировать в
друг в друга, не проходя при этом через стационарную точку. Тогда
Предположение леммы означает существование непрерывной функции
такой, что (i) при фиксированном
каждая кривая
является жордановой кривой в
Доказательство леммы такое же, как и леммы 2.1.
Следствие 3.1. Пусть
положительно ориентированная жорданова кривая в
такая, что внутренняя область кривой
принадлежит
на кривой
и во внутренней области. Тогда
Доказательство. Так как внутренняя область
жордановой кривой является односвязной, то
можно продеформировать (оставаясь в
в малую окружность
содержащую внутри себя некоторую точку
Так как
то ясно, что, если окружность
достаточно мала, изменение угла между
и
-осью при обходе вокруг
будет мало. Так как
целое число, то
По лемме
Пусть
Лемма 3.1 показывает, что целое число
не зависит от конкретного вида жордановой кривой
в классе тех кривых
внутренние области которых принадлежат
и не содержат стационарных точек, за возможным исключением
точки
Это целое число
называется индексом
точки
по отношению к полю
В силу следствия 3.1 индекс
если точка
регулярная. Поэтому мы будем рассматривать только индексы изолированных стационарных точек последствие 3.2. Пусть
положительно ориентированная жорданова кривая в
на которой
и пусть внутренняя область кривой
принадлежит
и содержит только конечное число стационарных точек
Тогда
Справедливость этого утверждения сразу же следует из того, что кривую
можно продеформировать в кривую, состоящую из окружностей с центрами в стационарных точках и «разрезов» между ними, проходимых в противоположных направлениях; см. рис. 3.
Рис. 3.
Упражнение 3.1. Покажите, что индекс точки
поля
равен
или —1 в соответствии с тем, будет ли
или
Упражнение 3.2 (продолжение). Пусть поле
определено, как в предыдущем упражнении, и пусть
—непрерывное поле, определенное для малых
причем
при
Покажите, что если
то точка
является изолированной стационарной точкой и ее индекс
в соответствии с тем, будет ли
Упражнение 3.3. Пусть
в открытом множестве
и якобиан
отличен от нуля во всех точках, где
Пусть
положительно ориентированная жорданова кривая в
внутренняя область I которой принадлежит
на
Покажите, что в I содержится самое большее конечное число стационарных точек
и что