§ 9. Теорема существования и единственности

Основная теорема относительно уравнения (7.1) состоит в следующем.

Теорема 9.1. Пусть принадлежит классу в открытой области и пусть Пусть поверхность из (7.2) является частью гиперповерхности класса определенной для близких к Пусть функция класса определенная для близких к и Наконец, пусть имеют место соотношения (7.13), (7.14) и (7.15). Тогда в окрестности точки задача Коши имеет единственное решение класса

Из (7.15) следует, что Ранг матрицы равен Условие обеспечивает существование гиперповерхности удовлетворяющей (7.15). Например, если в точке то в качестве 5 можно взять гиперплоскость

Доказательство. Согласно рассуждениям § 7, для у, близких к существует единственная функция класса удовлетворяющая условиям Пусть есть решение системы (7.9), удовлетворяющее начальному условию

По теореме это решение единственно и принадлежат классу для малых и близких к Так как — первый интеграл системы (7.9), то

Действительно, функция в левой части (9.2), согласно лемме (8.1), не зависит от а при левая часть (9.2) сводится к (7.11).

Из первой части системы (7.9) и формул (9.1) при следует, что якобиан при равен

Поэтому из условия (7.15) получаем, что этот якобиан отличен нуля. Следовательно, при близких к существует

единственное отображение

обратное к

Отображение (9.3) принадлежит классу Положим

для у, близких к Тогда (9.2) принимает вид

Следовательно, утверждение теоремы о существовании решения будет доказано, если мы покажем, что

т. е. При замене переменных в с отличным от нуля якобианом это равенство равносильно следующему:

или

Равенство (9.8) следует из (7.9). Остается проверить только (9.7).

Пусть при фиксированном левая часть равенства (9.7) обозначена через Заметим, что, согласно (7.12) и (9.1),

Пусть Дифференцирование левой части (9.7) по дает

Замена порядка дифференцирования законна, так как и принадлежат классу С учетом (7.9) последнее соотношение принимает такой вид:

Если продифференцировать (9.2) по то видно, что сумма последних двух слагаемых равна — Отсюда

Так как удовлетворяет линейному однородному дифференциальному уравнению и начальному условию (9.9), то

Значит, (9.5) является решением задачи (7.1) — (7.3). Кроме того, функция и принадлежит классу так как ее градиент (9.6) принадлежит классу Наконец, если так что решения системы (7.9) единственным образом определяются начальными условиями, то единственность решения задачи (7.1) — (7.3) в классе следует из леммы 8.2, замечаний к ней и только что завершенного доказательства существования. (Относительно доказательства единственности см. следующий параграф.)

Следует упомянуть, что когда начальные данные не являются нехарактеристическими, то в общем случае решения не существует.

В некотором смысле теорема 9.1 в той части, которая связана с «существованием», не удовлетворительна, так как в ней идет речь о решениях класса в то время как естественнее было бы искать решения только класса Разумно поставить вопрос о возможности ослабления в теореме 9.1 условий дифференцируемости с тем, однако, чтобы все еще можно было получать решения класса На этот вопрос до некоторой степени можно ответить отрицательно.

Упражнение 9.1. Пусть х, у — вещественные переменные и непрерывная, но нигде не дифференцируемая функция. Покажите, что задача и не имеет решения в классе Значит, непрерывность функции недостаточна для существования решения.

Упражнение 9.2. Даже если и начальные данные аналитичны, то этих условий недостаточно для того, чтобы можно было утверждать существование решений. Пусть вещественные переменные. Пусть вещественная функция класса при малых такая, что производная не удовлетворяет в точке условию Липшица. Покажите, с одной стороны, что процесс, описанный при доказательстве теоремы 9.1, не дает решения задачи и (Трудности возникают в связи с тем, что аналог функции (9.4) не имеет обратной функции.) С другой стороны, из упр. следует, что если решение существует, то оно должно получаться указанным процессом. Следовательно, решения в не существует.

Упражнение 9.3. Последнее упражнение показывает, что следующая теорема в некотором смысле является наилучшей: теорема 9.1 остается справедливой, если условие принадлежат заменить условием принадлежат и их частные производные удовлетворяют условию Липшица». См. Важевский [3]. Эту теорему можно доказать, надлежащим образом модифицируя доказательство теоремы 9.1 и используя

при этом, например, тот факт, что удовлетворяющие условию Липшица функции обладают почти всюду полными дифференциалами. По поводу другого доказательства см. Дигель [2].