§ 12. Р-допустимые пространства для T'

В этом параграфе будет доказано, что при соответствующих условиях из -допустимости пары для оператора вытекает -допустимость пар или для оператора

Лемма 12.1. Пусть выполнены условия [В частности, X является -многообразием в силу условия Если и —решение уравнения для которого то является -решением и

где постоянные из определения -многообразия X и леммы частности,

Доказательство. Пусть решение уравнения существующее в силу так что и выполнены условия (3.5). Для больших Поэтому из формулы Грина вытекает, что

где правая часть не превышает силу (3.5). Утверждение этой леммы следует теперь из леммы 9.2.

Пусть Тогда по условию существует единственный элемент такой, что линейный функционал от у представляется в виде скалярного произведения для всех т. е. определен линейный

оператор отображающий пространство в себя и такой, что

В этом параграфе предполагается, что выполнено следующее условие:

(С) (Единственное) ограниченное линейное отображение определенное в соответствии с (12.2), является отображением на (и потому имеет единственное обратное отображение определенное на всем пространстве У.

Очевидно, что для многообразия пространство где — обычный аннулятор пространства X, т. е.

Лемма 12.2. Пусть выполнены условия Пусть решение уравнения для которого Тогда

где постоянная из условия (3.6) лешш 3.3, а норма оператора

Доказательство. Пусть некоторое PD-решение уравнения Тогда при больших В силу формулы Грина последнее выражение равно постоянной и

Из неравенства в лемме 3.3 и из (12.2) вытекает, что для всех Поэтому норма вектора рассматриваемого как линейный функционал на (т. е. как элемент сопряженного пространства не превышает Поскольку это факторпространство норма «элемента» у в котором равна мы видим, что Поэтому из равенства вытекает, что Лемма 12.2 доказана.

Теорема 12.1. Пусть выполнены условия и пусть уравнение имеет решение для каждой функции Тогда пара является -допустимой для оператора в действительности, является -подпространством для (причем роль постоянных условиях допустимости играют постоянные для всякого фиксированного

Доказательство. Пусть Тогда уравнение имеет решение равное нулю при больших t. [Если - произвольное решение уравнения то искомым является решение поскольку существует в силу условия Поэтому В частности, так что, по лемме

Пусть фиксированное число. Представим элемент в виде где Тогда

Поскольку в силу леммы 12.1, уравнение имеет решение, равное х при Пусть так что Тогда Кроме того, По лемме 12.1

Следовательно, где С — указанная постоянная. Теорема доказана.

Теорема 12.2. Пусть выполнены условия и пусть для любых уравнение имеет решение удовлетворяющее условию Тогда пара является Р-допустимой для (Кроме того, роль постоянных в условиях допустимости играют постоянные

Доказательство. Пусть Мы должны показать, что уравнение имеет Р-решение Пусть и Положим

Тогда в силу леммы 3.3. Другими словами, это ограниченный линейный функционал на норма которого не превосходит и потому существует продолжение этого функционала на с той же нормой. Следовательно, найдется элемент такой, что для всех В силу существует элемент так что

для всех и

По предположению уравнение имеет решение для которого

Пусть некоторое PD-решение уравнения существующее в силу леммы 3.2. По формуле Грина, примененной к

для больших Поскольку для больших из (12.3) (12.4) следует, что (также при больших

Поэтому, применяя формулу Грина к и получаем

Из (3.5) и (12.5) вытекает теперь, что

По лемме В силу неравенства (12.5) теорема доказана.

Важность теорем, подобных теоремам 12.1, 12.2, будет проиллюстрирована следующим образом: мы применим теоремы 12.1 и 11.3 при условии, что операторы и переставлены. Заметим, что так что второе ассоциированное пространство совпадает с

Теорема 12.3. Пусть выполнены предположения теоремы 12.1, условия для фиксированного замененным на пусть функция из неравенства (10.4) принадлежит Тогда индуцирует индивидуальную частичную дихотомию для и если является решением уравнения но не является PD-решением этого уравнения. Если, кроме того,

то индуцирует индивидуальную экспоненциальную дихотомию для

Если предположить, что или или малы на то постоянные в условии (а) из определения дихотомий не зависят от решения

Упражнение 12.1. Докажите теорему 12.3.