Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
оператор
отображающий пространство
в себя и такой, что
В этом параграфе предполагается, что выполнено следующее условие:
(С) (Единственное) ограниченное линейное отображение
определенное в соответствии с (12.2), является отображением на (и потому имеет единственное обратное отображение
определенное на всем пространстве У.
Очевидно, что для многообразия
пространство
где
— обычный аннулятор пространства X, т. е.
Лемма 12.2. Пусть выполнены условия
Пусть
решение уравнения
для которого
Тогда
где
постоянная из условия (3.6) лешш 3.3, а
норма оператора
Доказательство. Пусть
некоторое PD-решение уравнения
Тогда
при больших
В силу формулы Грина последнее выражение равно постоянной
и
Из неравенства
в лемме 3.3 и из (12.2) вытекает, что
для всех
Поэтому норма вектора
рассматриваемого как линейный функционал на
(т. е. как элемент сопряженного пространства
не превышает
Поскольку
это факторпространство
норма «элемента» у в котором равна
мы видим, что
Поэтому из равенства
вытекает, что
Лемма 12.2 доказана.
Теорема 12.1. Пусть выполнены условия
и пусть уравнение
имеет решение
для каждой функции
Тогда пара
является
-допустимой для оператора
в действительности,
является
-подпространством для
(причем роль постоянных
условиях допустимости играют постоянные
для всякого фиксированного
Доказательство. Пусть
Тогда уравнение
имеет решение
равное нулю при больших t. [Если
- произвольное решение уравнения
то искомым является решение
поскольку
существует в силу условия
Поэтому
В частности,
так что, по лемме
Пусть
фиксированное число. Представим элемент
в виде
где
Тогда
Поскольку
в силу леммы 12.1, уравнение
имеет решение, равное х при
Пусть
так что
Тогда
Кроме того,
По лемме 12.1
Следовательно,
где С — указанная постоянная. Теорема доказана.
Теорема 12.2. Пусть выполнены условия
и пусть для любых
уравнение
имеет решение
удовлетворяющее условию
Тогда пара
является Р-допустимой для
(Кроме того, роль постоянных
в условиях допустимости играют постоянные
Доказательство. Пусть
Мы должны показать, что уравнение
имеет Р-решение
Пусть
и
Положим
Тогда
в силу леммы 3.3. Другими словами,
это ограниченный линейный функционал на
норма которого не превосходит
и потому существует продолжение этого функционала на
с той же нормой. Следовательно, найдется элемент такой, что
для всех
В силу
существует элемент
так что
для всех
и
По предположению уравнение
имеет решение
для которого
Пусть
некоторое PD-решение уравнения
существующее в силу леммы 3.2. По формуле Грина, примененной к
для больших
Поскольку
для больших из (12.3) (12.4) следует, что (также при больших
Поэтому, применяя формулу Грина к
и
получаем
Из (3.5) и (12.5) вытекает теперь, что
По лемме
В силу неравенства (12.5) теорема доказана.
Важность теорем, подобных теоремам 12.1, 12.2, будет проиллюстрирована следующим образом: мы применим теоремы 12.1 и 11.3 при условии, что операторы
и
переставлены. Заметим, что
так что второе ассоциированное пространство
совпадает с
Теорема 12.3. Пусть выполнены предположения теоремы 12.1, условия
для фиксированного
замененным на
пусть функция
из неравенства (10.4) принадлежит
Тогда
индуцирует индивидуальную частичную дихотомию для
и
если
является решением уравнения
но не является PD-решением этого уравнения. Если, кроме того,
то
индуцирует индивидуальную экспоненциальную дихотомию для
Если предположить, что
или
или
малы на
то постоянные в условии (а) из определения дихотомий не зависят от решения
Упражнение 12.1. Докажите теорему 12.3.